[论文解读] Nearly Kaehler geometry and Riemannian foliations

Paul-Andi Nagy|ArXiv.org|Mar 5, 2002

Advanced Differential Geometry Research被引用 30

一句话总结

本文通过分析典范殆复结构联络的全纯性，证明了严格、完备、单连通的近凯勒流形可分解为6维近凯勒流形、齐性近凯勒空间或正数量曲率的四元数凯勒流形上的扭量空间的黎曼积。该分类依赖于对典范殆复结构联络的全纯性表示的分析，并应用了具有殆复对称纤维的纤维丛的广义德雷姆分解定理。

ABSTRACT

We consider strict and complete nearly Kaehler manifolds with the canonical Hermitian connection. The holonomy representation of the canonical Hermitian connection is studied. We show that a strict and complete nearly Kaehler is locally a Riemannian product of homogenous nearly Kaehler spaces, twistor spaces over quaternionic Kaehler manifolds and 6-dimensional nearly Kaehler manifolds. As an application we obtain structure results for totally geodesic Riemannian foliations admitting a compatible Kaehler structure. Finally, we obtain a classification result for the homogenous case, reducing a conjecture of Wolf and Gray to its 6-dimensional form.

研究动机与目标

• 通过典范殆复结构联络的全纯性表示对严格且完备的近凯勒流形进行分类。
• 理解具有相容凯勒结构的黎曼叶状结构的几何结构。
• 将沃尔夫-格雷厄姆关于齐性近凯勒流形的猜想约化为6维情形。
• 通过具有殆复对称纤维的黎曼次丛，在近凯勒几何与扭量理论之间建立结构性联系。

提出的方法

• 分析近凯勒流形上典范殆复结构联络的全纯性表示。
• 识别张量的特殊代数类型以约束全纯性表示。
• 证明具有特殊张量的流形在底空间上存在具有全测地、紧致、单连通的殆复对称纤维的纤维丛结构。
• 对这类纤维丛应用广义德雷姆分解定理，假设底空间与纤维均为不可约的。
• 利用里奇张量计算与伯杰分类定理，约束底流形的黎曼全纯性。
• 利用四元数凯勒流形上扭量空间为齐性凯勒流形这一事实，得出分类结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 在典范殆复结构联络下，严格且完备的近凯勒流形的结构是什么？
• RQ2 具有相容凯勒结构的黎曼叶状结构如何约束周围流形的几何性质？
• RQ3 沃尔夫-格雷厄姆关于齐性近凯勒流形的猜想是否可约化为6维情形？
• RQ4 张量在决定近凯勒流形的全纯性与全局分解中起什么作用？
• RQ5 四元数凯勒流形上的扭量空间如何作为近凯勒流形出现，其几何性质是什么？

主要发现

• 严格且完备、单连通的近凯勒流形可分解为6维近凯勒流形、I–IV型齐性近凯勒空间或正数量曲率四元数凯勒流形上的扭量空间的黎曼积。
• 该分类等价于底层黎曼度量的德雷姆分解，证实了近凯勒结构的几何刚性。
• 在凯勒流形上具有复叶的全测地黎曼叶状结构必须源于同一分解，暗示了强烈的结构约束。
• 典范殆复结构联络的全息表示是可约的，且由张量的代数结构所约束，从而导致具有殆复对称纤维的纤维丛。
• 在紧致、单连通、对称的正数量曲率四元数凯勒流形上的扭量空间具有典范近凯勒度量。
• 齐性近凯勒流形被证明是具有典范复结构的凯勒流形，意味着其底空间是对称的，整体结构是齐性的。