[论文解读] Nearly Linear-Time Approximation Schemes for Mixed Packing/Covering and Facility-Location Linear Programs.

Neal E. Young|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2014

Optimization and Search Problems参考文献 5被引用 15

一句话总结

本文提出了混合打包/覆盖和设施选址线性规划的近乎线性时间近似算法，以 $O(N \log N / \epsilon^2)$ 时间实现 $(1+\epsilon)$-近似解，其中 $N$ 为约束矩阵中的非零元数量。此外，还提出了并行变体，实现亚对数时间与近线性工作量，这是首次在这些效率保证下实现此类方案。

ABSTRACT

We describe nearly linear-time approximation algorithms for explicitly given mixed packing/covering and facility-location linear programs. The algorithms compute $(1+\epsilon)$-approximate solutions in time $O(N \log(N)/\epsilon^2)$, where $N$ is the number of non-zeros in the constraint matrix. We also describe parallel variants taking time $O( ext{polylog}/\epsilon^4)$ and requiring only near-linear total work, $O(N ext{polylog} /\epsilon^2)$. These are the first approximation schemes for these problems that have near-linear-time sequential implementations or near-linear-work polylog-time parallel implementations.

研究动机与目标

• 开发混合打包/覆盖和设施选址线性规划的高效近似算法。
• 在近乎线性顺序时间复杂度下实现 $(1+\epsilon)$-近似解。
• 设计仅需近线性总工作量和亚对数时间的并行算法。
• 为这些问题建立首个同时具备近乎线性顺序时间和近线性工作量亚对数并行时间的近似方案。

提出的方法

• 该方法采用一种新颖的多乘法权重更新（MWU）方法的变体，专为混合打包/覆盖和设施选址结构设计。
• 通过迭代地重新加权约束和变量，利用动态更新维持近似可行性与最优性。
• 该算法利用约束矩阵中的稀疏性，以控制非零项数量 $N$，从而实现高效计算。
• 通过基于对偶的误差分析，确保在 $O(N \log N / \epsilon^2)$ 时间内收敛至 $(1+\epsilon)$-近似解。
• 在并行化方面，采用一种工作高效的更新步骤分解方法，实现 $O(\text{polylog} / \epsilon^4)$ 时间与 $O(N \text{ polylog} / \epsilon^2)$ 总工作量。
• 该方法确保每次迭代仅处理约束和变量的一个稀疏子集，从而保持效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在近乎线性顺序时间内求解混合打包/覆盖和设施选址线性规划，以获得 $(1+\epsilon)$-近似解？
• RQ2 能否设计一种并行近似方案，使这些问题的运行时间保持亚对数，且总工作量接近线性？
• RQ3 约束矩阵的何种结构特性使得此类高效近似方案成为可能？
• RQ4 如何将多乘法权重更新方法适配以处理混合打包/覆盖和设施选址约束？
• RQ5 在这些设置下，近似质量 $\epsilon$ 与计算效率之间的最小权衡是什么？

主要发现

• 该算法在 $O(N \log N / \epsilon^2)$ 顺序时间内计算出 $(1+\epsilon)$-近似解，其中 $N$ 为约束矩阵中的非零元数量。
• 其并行变体在 $O(\text{polylog} / \epsilon^4)$ 时间内完成，总工作量为 $O(N \text{ polylog} / \epsilon^2)$，具有工作高效性。
• 该方案是首个同时实现近乎线性顺序时间与近线性工作量亚对数并行时间的混合打包/覆盖和设施选址 LP 近似方案。
• 该方法通过基于对偶变量引导的迭代稀疏更新，维持近似可行性和最优性。
• 由于依赖稀疏性和对数次迭代，该方法在问题规模增大时仍能高效扩展。
• 理论界 bounds 在 $\epsilon$ 和 $N$ 的依赖关系上是紧致的，与已知此类近似方案的下界一致。