[论文解读] Nearly locally presentable categories

Leonid Positselski, Jir̆ı́ Rosický|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文引入了近乎局部表示范畴（nearly locally presentable categories），这是局部表示范畴（locally presentable categories）的一种推广，通过聚焦于特定λ-有向余极限（即大小小于λ的子余积形成的余极限）来弱化表示性条件。主要贡献在于：虽然一般情况下，近乎局部表示范畴严格弱于局部表示范畴，但在阿贝尔范畴中二者一致；此外，完全偏序集（CPO）范畴提供了一个自然的、与集合论无关的近乎局部有限表示范畴但非局部表示范畴的实例，凸显了其在域理论与理论计算机科学中的重要性。

ABSTRACT

We introduce a new class of categories generalizing locally presentable ones. The distinction does not manifest in the abelian case and, assuming Vopenka's principle, the same happens in the regular case. The category of complete partial orders is the natural example of a nearly locally finitely presentable category which is not locally presentable.

研究动机与目标

• 通过使用特定λ-有向余极限，推广局部表示性的概念，引入近乎λ-表示对象。
• 将近乎局部λ-表示范畴定义为具有近乎λ-表示对象的强生成元且每个对象仅有集合多组强商的共极限范畴。
• 研究近乎局部表示范畴与局部表示范畴之间的关系，特别是在Vopěnka原理等集合论假设下的情形。
• 识别出自然的近乎局部表示范畴但非局部表示范畴的例子，如完全偏序集（CPO）范畴。
• 建立近乎局部表示范畴与局部表示范畴重合的条件，特别是在具有正规分解和单射的范畴中。

提出的方法

• 将近乎λ-表示对象定义为：其对应的同伦函子保持特定λ-有向余极限——即索引集为大小小于λ的余积子集的余极限。
• 将近乎局部λ-表示范畴引入为具有近乎λ-表示对象的强生成元且每个对象仅有集合多组强商的共极限范畴。
• 利用在许多范畴（如带基点范畴或阿贝尔范畴）中，余积包含映射为单射这一事实，简化近乎表示对象的刻画。
• 应用可反射子范畴技术，证明：保持特定λ-有向余极限的预层范畴的全反射子范畴是近乎局部表示的。
• 利用文献[3]和[4]中关于核心射子范畴与保守函子的结果，证明封闭性与生成性性质。
• 使用（强埃米卡，单射）分解，将近乎表示性与正规分解联系起来，并证明其在余极限下的稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，一个近乎局部表示范畴会成为局部表示范畴？
• RQ2 是否存在一个自然的近乎局部表示范畴但非局部表示范畴的例子，且其独立于集合论假设？
• RQ3 在具有单射的范畴中，近乎表示对象与λ-表示对象及λ-生成对象之间有何关系？
• RQ4 Vopěnka原理在判定近乎局部表示范畴是否为局部表示范畴中起什么作用？
• RQ5 近乎局部表示范畴能否被刻画为保持特定λ-有向余极限的预层范畴的反射子范畴？

主要发现

• 完全偏序集（CPO）范畴是近乎局部有限表示的，但不是局部表示的，提供了一个自然的、与集合论无关的近乎局部表示范畴但非局部表示范畴的实例。
• 在阿贝尔范畴中，每个近乎局部表示范畴都是局部表示的，表明在此背景下二者区别消失。
• 在Vopěnka原理下，具有正规分解的近乎局部表示范畴是局部表示的，且该等价性在该类设定中等价于Vopěnka原理。
• 近乎表示对象广义化了λ-表示对象与λ-生成对象，尤其在余积包含映射为单射时更为显著。
• 近乎局部λ-表示范畴的类在取函子范畴时是封闭的：若K是近乎局部λ-表示的且C是小范畴，则KC是近乎局部λ-表示的。
• 在近乎局部表示范畴中，单射在特定λ-有向余极限下是稳定的，这是其关键结构性质。