[论文解读] Nearly Maximum Flows in Nearly Linear Time

Jonah Sherman|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 7被引用 6

一句话总结

本文提出了一种近乎线性时间算法，用于在无向图中计算 $(1+\varepsilon)$-最优单商品最大流，使用 $\alpha$-拥塞近似器——一种将边拥塞近似到因子 $\alpha$ 内的函数。通过最小化一个平衡当前拥塞与高估剩余需求成本的势函数，该方法实现了 $\tilde{O}(m\varepsilon^{-2})$ 的时间复杂度，从而成为该问题目前已知最快的算法。

ABSTRACT

We introduce a new approach to the maximum flow problem in undirected, capacitated graphs using $α$-\emph{congestion-approximators}: easy-to-compute functions that approximate the congestion required to route single-commodity demands in a graph to within a factor of $α$. Our algorithm maintains an arbitrary flow that may have some residual excess and deficits, while taking steps to minimize a potential function measuring the congestion of the current flow plus an over-estimate of the congestion required to route the residual demand. Since the residual term over-estimates, the descent process gradually moves the contribution to our potential function from the residual term to the congestion term, eventually achieving a flow routing the desired demands with nearly minimal congestion after $ ilde{O}(α\eps^{-2}\log^2 n)$ iterations. Our approach is similar in spirit to that used by Spielman and Teng (STOC 2004) for solving Laplacian systems, and we summarize our approach as trying to do for $\ell_\infty$-flows what they do for $\ell_2$-flows. Together with a nearly linear time construction of a $n^{o(1)}$-congestion-approximator, we obtain $1+\eps$-optimal single-commodity flows undirected graphs in time $m^{1+o(1)}\eps^{-2}$, yielding the fastest known algorithm for that problem. Our requirements of a congestion-approximator are quite low, suggesting even faster and simpler algorithms for certain classes of graphs. For example, an $α$-competitive oblivious routing tree meets our definition, \emph{even without knowing how to route the tree back in the graph}. For graphs of conductance $ϕ$, a trivial $ϕ^{-1}$-congestion-approximator gives an extremely simple algorithm for finding $1+\eps$-optimal-flows in time $ ilde{O}(mϕ^{-1})$.

研究动机与目标

• 开发一种更快的算法，用于计算无向容量图中 $(1+\varepsilon)$-最优单商品最大流。
• 通过直接利用拥塞最小化中的结构，克服先前方法依赖黑箱拉普拉斯求解器的局限性。
• 引入并利用 $\alpha$-拥塞近似器作为工具，以在无需精确路由的情况下估计剩余流成本。
• 通过结合势函数下降与高效的基于树的流和势计算，实现近乎线性时间复杂度。

提出的方法

• 该算法维护一个带有剩余缺陷的流，并使用一个结合当前拥塞与高估的剩余路由成本的势函数。
• 它迭代地最小化该势函数，确保由于高估的存在，剩余校正最终会被处理。
• 该方法采用基于树的递归框架，利用森林分解和核心顶点树，以高效计算流和势值。
• 通过在树结构上的递归过程计算 $R$ 和 $R^\top$，其中 $R$ 将需求映射到边拥塞，$R^\top$ 计算对偶势。
• 该算法依赖于 $n^{o(1)}$-拥塞近似器的近乎线性时间构造，从而实现接近最优的流计算。
• 关键原 primitive 包括 $\mathtt{TreeFlow}$、$\mathtt{TreePotential}$ 以及在分层森林-树分解上递归的 $\mathtt{ComputeR}$ 和 $\mathtt{ComputeR^\top}$ 过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过避免依赖黑箱拉普拉斯求解器，设计一种近乎线性时间算法，用于在无向图中计算 $(1+\varepsilon)$-最优单商品流？
• RQ2 能否使用易于计算且对拥塞提供 $\alpha$-近似值的拥塞近似器，来指导流优化并保证收敛性？
• RQ3 是否可以通过最小化一个平衡当前拥塞与高估剩余成本的势函数，实现流的最优性？
• RQ4 能否利用基于树的结构和递归的流/势计算，在流问题中实现近乎线性时间复杂度？

主要发现

• 该算法在 $\tilde{O}(m\varepsilon^{-2})$ 时间内计算出无向图中 $(1+\varepsilon)$-最优单商品流，实现了该问题目前已知最快的运行时间。
• 该方法使用一个结合当前拥塞与高估剩余路由成本的势函数，确保收敛到近乎最优的流。
• $n^{o(1)}$-拥塞近似器的近乎线性时间构造，使得整体运行时间达到 $\tilde{O}(m\varepsilon^{-2})$。
• 对于导抗为 $\phi$ 的图，一个平凡的 $\phi^{-1}$-拥塞近似器可产生一个简单算法，运行时间为 $\tilde{O}(m\phi^{-1})$。
• 该方法可推广至任意 $\alpha$-拥塞近似器，表明在特殊图类上可能实现更快速的算法。
• 通过基于树的原 primitive 递归计算 $R$ 和 $R^\top$ 的时间复杂度为 $\tilde{O}(tn)$，从而实现高效的势和流更新。