[论文解读] Nearly Sasakian geometry and $SU(2)$-structures

Beniamino Cappelletti–Montano, Giulia Dileo|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文系统研究了近Sasakian流形，证明其为接触流形，并具有Sasakian或5维近Sasakian叶的可积分布。揭示了5维近Sasakian结构与一类特殊近hypo $SU(2)$-结构之间的一一对应关系，后者可形变为Sasaki-Einstein结构，并引入了一种规范联络，使5维中$SU(2)$-结构与扭量张量均平行化。

ABSTRACT

We carry on a systematic study of nearly Sasakian manifolds. We prove that any nearly Sasakian manifold admits two types of integrable distributions with totally geodesic leaves which are, respectively, Sasakian or $5$-dimensional nearly Sasakian manifolds. As a consequence, any nearly Sasakian manifold is a contact manifold. Focusing on the $5$-dimensional case, we prove that there exists a one-to-one correspondence between nearly Sasakian structures and a special class of nearly hypo $SU(2)$-structures. By deforming such a $SU(2)$-structure one obtains in fact a Sasaki-Einstein structure. Further we prove that both nearly Sasakian and Sasaki-Einstein $5$-manifolds are endowed with supplementary nearly cosymplectic structures. We show that there is a one-to-one correspondence between nearly cosymplectic structures and a special class of hypo $SU(2)$-structures which is again strictly related to Sasaki-Einstein structures. Furthermore, we study the orientable hypersurfaces of a nearly Kähler 6-manifold and, in the last part of the paper, we define canonical connections for nearly Sasakian manifolds, which play a role similar to the Gray connection in the context of nearly Kähler geometry. In dimension $5$ we determine a connection which parallelizes all the nearly Sasakian $SU(2)$-structure as well as the torsion tensor field. An analogous result holds also for Sasaki-Einstein structures.

研究动机与目标

• 系统研究近Sasakian流形及其几何结构。
• 通过具有全测地叶的可积分布，证明近Sasakian流形为接触流形。
• 证明5维近Sasakian结构与一类特殊近hypo $SU(2)$-结构之间的一一对应关系。
• 证明此类$SU(2)$-结构的形变可产生Sasaki-Einstein结构。
• 为近Sasakian流形定义并刻画一种规范联络，使其在5维中使$SU(2)$-结构与扭量张量均平行化。

提出的方法

• 本文使用张量场$ h = -\nabla_\rho - \phi $度量非Sasakian性，并分析其特征值与特征分布。
• 证明切丛正交分解为$ h^2 $的特征分布，特征值为$ 0, -\lambda_1^2, \dots, -\lambda_r^2 $，从而导出可积且全测地的叶状结构。
• 作者通过由$ (\eta, \omega_1, \omega_2, \omega_3) $定义的$SU(2)$-结构，建立了5维近Sasakian结构与近hypo $SU(2)$-结构之间的一一对应关系。
• 通过扭量张量$ H $定义规范联络$ \bar{\nabla} $，其分量涉及$ \eta $、$ \phi $、$ h $与度量，确保$ SU(2) $-结构的平行化。
• 通过特定的度量共形变换，实现近hypo $SU(2)$-结构向Sasaki-Einstein结构的形变。
• 证明规范联络保持$ SU(2) $-结构与扭量张量，尤其在$ r = \frac{1}{2} $时成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 近Sasakian流形如何通过$SU(2)$-结构与Sasakian及Sasaki-Einstein结构相关联？
• RQ2 张量场$ h $在刻画近Sasakian流形几何分解中的作用是什么？
• RQ3 能否为近Sasakian流形定义一种规范联络，使其使$ SU(2) $-结构与扭量张量均平行化？
• RQ4 5维近Sasakian结构与一类特殊近hypo $ SU(2) $-结构之间是否存在一一对应关系？
• RQ5 近hypo $ SU(2) $-结构的形变如何导致Sasaki-Einstein结构？

主要发现

• 任意近Sasakian流形均允许其切丛正交分解为$ h^2 $的特征分布，特征值为$ 0, -\lambda_1^2, \dots, -\lambda_r^2 $，从而产生可积且全测地的叶状结构。
• 分布$ \mathcal{D}(0) $是可积的，其叶为维数$ 2p+1 $的Sasakian流形，且$ p > 0 $意味着非平凡的Sasakian结构。
• 每个分布$ [\xi] \oplus \mathcal{D}(-\lambda_i^2) $是可积的，定义了一个具有5维近Sasakian非Sasakian叶的全测地叶状结构。
• 当$ p > 0 $时，叶状结构$ [\xi] \oplus \mathcal{D}(-\lambda_1^2) \oplus \cdots \oplus \mathcal{D}(-\lambda_r^2) $的叶空间为Kähler流形，从而实现Kähler约化。
• 存在5维近Sasakian结构与一类特殊近hypo $ SU(2) $-结构之间的一一对应关系，后者可形变为Sasaki-Einstein结构。
• 在5维中存在一种规范联络$ \bar{\nabla} $，其使$ SU(2) $-结构与扭量张量均平行化，尤其在$ r = \frac{1}{2} $时成立，且与Sasakian结构的Okumura联络一致。