[论文解读] Necessary And Sufficient Conditions For Existence of the LU Factorization of an Arbitrary Matrix

Pavel Okunev, Charles R. Johnson|ArXiv.org|Jun 19, 2005

Matrix Theory and Algorithms参考文献 3被引用 14

一句话总结

本文建立了任意域上平方矩阵存在LU分解的充要条件，将高斯消元法推广至不可逆矩阵。证明了当且仅当对每个大小为 $k$ 的前导主子矩阵，对所有 $k = 1,\dots,n$，有秩条件 $\text{rank}(A[1..k]) + k \geq \text{rank}(A[1..k,1..n]) + \text{rank}(A[1..n,1..k])$ 成立时，矩阵才可进行LU分解。该结果可导出一种构造性LU分解算法，并在标准LU分解失败时推广至近似LU分解。

ABSTRACT

If $A$ is an n-by-n matrix over a field $F$ ($A\in M_{n}(F)$), then $A$ is said to ``have an LU factorization'' if there exists a lower triangular matrix $L\in M_{n}(F)$ and an upper triangular matrix $U\in M_{n}(F)$ such that $$A=LU.$$ We give necessary and sufficient conditions for LU factorability of a matrix. Also simple algorithm for computing an LU factorization is given. It is an extension of the Gaussian elimination algorithm to the case of not necessarily invertible matrices. We consider possibilities to factors a matrix that does not have an LU factorization as the product of an ``almost lower triangular'' matrix and an ``almost upper triangular'' matrix. There are many ways to formalize what almost means. We consider some of them and derive necessary and sufficient conditions. Also simple algorithms for computing of an ``almost LU factorization'' are given.

研究动机与目标

• 确定任意域上平方矩阵存在LU分解的精确条件。
• 将经典LU分解算法推广至非必然可逆的矩阵。
• 基于秩条件，提供一种计算LU分解的构造性算法。
• 形式化并分析标准LU分解不存在时的“近似LU”分解。
• 建立LU分解、矩阵秩与初等行变换之间在理论与计算上的联系。

提出的方法

• 通过分块矩阵划分与矩阵乘积的秩不等式，推导LU分解的必要秩条件。
• 通过矩阵大小的归纳法证明充分性，逐块构造L与U矩阵。
• 引入“因子补”矩阵 $B = A_{22} - L_{21}U_{12}$，将问题约化为更小规模的LU分解。
• 通过递归构造L与U矩阵，确保下三角与上三角结构得以保持。
• 当标准LU分解失败时，利用秩亏近似引入“近似LU”分解。
• 通过初等行变换建立与置换矩阵及三角分解之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 任意域上的平方矩阵存在LU分解的必要与充分条件是什么？
• RQ2 标准高斯消元过程如何推广至不可逆矩阵？
• RQ3 当矩阵奇异或秩亏时，矩阵在何种条件下可分解为 $A = LU$？
• RQ4 当标准LU分解失败时，存在哪些替代分解形式，以及如何系统地计算它们？
• RQ5 在浮点数运算中，LU分解的连续性与唯一性在扰动下如何表现？

主要发现

• 矩阵 $A \in M_n(F)$ 存在LU分解当且仅当对每个 $k = 1,\dots,n$，不等式 $\text{rank}(A[1..k]) + k \geq \text{rank}(A[1..k,1..n]) + \text{rank}(A[1..n,1..k])$ 成立。
• 所提出的算法通过满足分块方程 $a_{11} = l_{11}u_{11}$，$A_{21} = L_{21}u_{11}$，$A_{12} = l_{11}U_{12}$，$A_{22} = L_{21}U_{12} + L_{22}U_{22}$，递归地构造 $L$ 与 $U$。
• 当秩条件最多失败 $m$ 时，论文构造了“近似LU”分解 $A = HV$，其中 $H$ 为下三角矩阵，$V$ 为上三角矩阵，且 $H$ 的前 $m$ 行与 $V$ 的前 $m$ 列为零。
• 对任意平方矩阵 $A$，存在 $A = PLU$ 分解，其中 $P$ 为置换矩阵，$L$ 为下三角矩阵，$U$ 为上三角矩阵，通过置换行以满足秩条件。
• 论文表明，$A = U_1LU_2$ 与 $A = L_1UL_2$ 总是可通过三角矩阵 $U_1, U_2, L_1, L_2$ 实现，从而扩展了经典分解定理。
• 在浮点数运算中，当矩阵不可逆或分解不唯一时，标准算法通常无法计算LU分解，原因在于缺乏连续性与邻域稳定性。