[论文解读] Necessary and Sufficient Conditions for State Feedback Equivalence to Negative Imaginary Systems

Kanghong Shi, Ian R. Petersen+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2021

Piezoelectric Actuators and Control参考文献 34被引用 7

一句话总结

本论文建立了最小线性时不变（LTI）系统与负实部（NI）系统状态反馈等价的必要且充分条件：当且仅当该系统可通过输出变换转化为相对阶≤2且弱最小相位的系统时，这种等价性成立。该方法通过输出与输入变换实现NI特性，从而实现对具有严格负实部（SNI）不确定性的系统的鲁棒稳定，数值示例表明通过直流增益分析可保证渐近稳定性。

ABSTRACT

In this paper, we present necessary and sufficient conditions under which a linear time-invariant (LTI) system is state feedback equivalent to a negative imaginary (NI) system. More precisely, we show that a minimal LTI strictly proper system can be rendered NI using full state feedback if and only if it can be output transformed into a system, which has relative degree less than or equal to two and is weakly minimum phase. We also considered the problems of state feedback equivalence to output strictly negative imaginary systems and strongly strict negative imaginary systems. Then we apply the NI state feedback equivalence result to robustly stabilize an uncertain system with strictly negative imaginary uncertainty. An example is provided to illustrate the proposed results, for the purpose of stabilizing an uncertain system.

研究动机与目标

• 为解决被动性和正实（PR）控制理论中系统相对阶必须≤1的局限性，将框架扩展至允许相对阶达2的负实部（NI）系统。
• 通过完整刻画与NI、OSNI及SSNI系统的状态反馈等价性，弥补现有文献的空白，包括具有混合相对阶的系统。
• 提出一种构造性方法，通过状态反馈将系统转化为NI形式，利用输出与输入变换保持NI特性。
• 将NI状态反馈等价结果应用于具有严格负实部（SNI）不确定性的系统，实现鲁棒稳定并确保渐近稳定性。

提出的方法

• 论文引入一种输出变换，将系统转化为相对阶≤2且弱最小相位的形式，这是NI状态反馈等价的必要且充分条件。
• 证明NI特性在非奇异输出变换下保持不变，通过附加输入变换进行补偿，从而保持系统结构与反馈特性。
• 利用变换后系统动力学推导状态反馈控制律，给出反馈增益关于系统矩阵与变换参数的显式公式。
• 通过线性矩阵不等式（LMIs）应用NI引理，验证变换后系统的NI特性，确保对所有ω≥0，其赫尔米特虚部为负半定。
• 为实现鲁棒稳定，确保闭环直流增益条件λ_max(R(0)Δ(0)) < 1成立，利用NI控制器稳定性准则。
• 通过数值示例完整演示该方法：系统变换、反馈增益计算，以及通过极点位置与直流增益分析验证渐近稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于无零点位于原点的最小LTI系统，其在何种条件下可通过状态反馈控制实现负实部特性？
• RQ2 输出变换如何影响系统与NI系统的状态反馈等价性？NI特性在该类变换下是否保持不变？
• RQ3 与输出严格负实部（OSNI）及强严格负实部（SSNI）系统实现状态反馈等价的必要且充分条件是什么？
• RQ4 所提方法能否鲁棒稳定具有严格负实部（SNI）不确定性的系统？何种条件可确保渐近稳定性？
• RQ5 该方法如何处理具有混合相对阶（如同时存在相对阶1与2模态）的系统？与先前研究假设统一相对阶的工作相比有何优势？

主要发现

• 最小LTI严格真系统与NI系统状态反馈等价，当且仅当其可通过输出变换转化为相对阶≤2且弱最小相位的系统。
• 系统与OSNI系统状态反馈等价，当且仅当其与NI系统状态反馈等价，从而确立了两类系统之间的等价性。
• 系统与SSNI系统状态反馈等价，当且仅当其相对阶向量为{1,…,1}且为最小相位系统。
• 在数值示例中，闭环系统所有极点均位于开左半平面，且对所有ω>0满足j[R(jω)−R(jω)∗]≥0，确认了NI特性。
• 名义闭环系统的直流增益为R(0) = [[0.25, 0.25], [0.25, 0.5]]，λ_max(R(0)) = 0.6545，满足λ_max(R(0)Δ(0)) < 1，从而在SNI不确定性下保证渐近稳定性。
• 控制输入显式计算为u = [[0, -3, -1, -2], [-3, -6, 14.5, -1.5]]x + [[1, 1], [0, -1]]v，使变换后系统表现出NI行为。