[论文解读] Necessary and Sufficient Conditions in the Problem of Optimal Investment with Intermediate Consumption

Oleksii Mostovyi|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 30被引用 3

一句话总结

本文建立了在不完全半鞅金融市场上，存在具有中间消费的最优投资策略的必要且充分条件。结果表明，原始值函数（期望效用）和对偶值函数（期望共轭效用）的有限性是关键结果——如唯一最优解的存在性、值函数的共轭关系以及满足Inada条件——的必要且充分条件，前提是效用为随机场形式，并采用随机计时钟来建模消费时间。

ABSTRACT

We consider a problem of optimal investment with intermediate consumption in the framework of an incomplete semimartingale model of a financial market. We show that a necessary and sufficient condition for the validity of key assertions of the theory is that the value functions of the primal and dual problems are finite

研究动机与目标

• 确定在不完全市场中，中间消费下的效用最大化核心结果有效的必要且充分条件。
• 将对偶框架从终端消费的情形扩展至包含随机场效用和消费时间的随机计时钟的情形。
• 通过提供必要且充分的条件，弥补现有理论中的空白，而非仅提供充分条件。
• 阐明原始值函数和对偶值函数在确保最优消费和财富过程的存在性与正则性方面的作用。
• 证明原始值函数和对偶值函数的有限性是标准效用最大化理论结论成立的最低要求。

提出的方法

• 使用随机计时钟建模消费时间，构建具有中间消费的最优投资问题。
• 通过效用随机场的凸共轭引入对偶问题，将对偶值函数定义为期望共轭效用的下确界。
• 采用等价局部鞅鞅折现因子集（Z），并构造对偶域Y为被Z支配的过程在测度拓扑下的闭包。
• 应用拓扑线性空间中的抽象对偶理论，特别是对偶定理，建立原始值函数与对偶值函数之间的共轭关系。
• 利用随机过程的Fatou收敛性及可选分解，通过对偶性刻画可接受的消费过程。
• 建立消费过程可接受性与所有折现因子下其期望收益有界的等价性，利用局部化和分部积分技术。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有中间消费的不完全半鞅市场中，最优消费策略存在的必要且充分条件是什么？
• RQ2 原始值函数和对偶值函数的有限性如何与随机场效用下效用最大化的最优解存在性和唯一性相关联？
• RQ3 对偶域是否可取为等价局部鞅鞅折现因子集Z，还是必须使用更大的集合Y才能保证对偶性成立？
• RQ4 在何种条件下，原始值函数和对偶值函数满足共轭关系及Inada条件？
• RQ5 在中间消费设定下，原始值函数的有限性（u(x) > -∞）是否为非平凡条件，它与对偶有限性如何相互作用？

主要发现

• 在中间消费下，效用最大化核心结果有效的必要且充分条件是：对所有x > 0，原始值函数u(x) > -∞，且对所有y > 0，对偶值函数v(y) < ∞。
• 在这些有限性条件下，原始值函数与对偶值函数互为共轭：v(y) = sup_x (u(x) - xy) 且 u(x) = inf_y (v(y) + xy)，且两个函数均为连续可微、严格凹，并满足Inada条件。
• 对每个x > 0，存在唯一的最优消费过程 ˆc(x)；对每个y > 0，存在唯一的对偶最优解 ˆY(y)，且当y = u′(x)时，几乎必然有 duality relation ˆYt(y) = U′(t, ω, ˆct(x)) 成立。
• 几乎必然成立对偶关系 ∫₀^∞ ˆct(x) ˆYt(y) dκt = xy，验证了边际效用定价的经济直觉。
• 对偶值函数可等价地在等价局部鞅鞅折现因子集Z上定义，即使最小化器可能位于Z之外；原始值函数也可在可接受消费过程的合适子集B上表示。
• 可接受消费过程集A与对偶过程集Y在测度收敛拓扑（dκ × P）下均为凸集、实心集且闭集，这使得可应用对偶定理以建立对偶性。