[论文解读] Negative Entropy, Pressure and Zero temperature: a L.D.P. for stationary Markov Chains on [0,1]

Artur O. Lopes, Joana Mohr+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2008

Markov Chains and Monte Carlo Methods被引用 3

一句话总结

本文建立了在伯努利空间 [0,1]^N 上的一族绝对连续马尔可夫概率测度 µβ 的大偏差原理（LDP），该族测度在零温度下弱收敛于唯一的最大化平稳马尔可夫概率测度 µ∞。在 C² 正则性与扭曲条件（∂²A/∂x∂y = 0）下，证明了在 [0,1]² 上的最大化概率 ν∞ 具有单调图像，且在 Mañé 意义下唯一，通过变分原理将遍历优化与热力学形式主义联系起来。

ABSTRACT

We analyze some properties of maximizing stationary Markov probabilities on the (modified) Bernoulli space [0, 1] N, which means we consider stationary Markov chains with state space S = [0, 1]. More precisely, we consider ergodic optimization for a continuous potential A, where A: [0, 1] N → R which depends only on the two first coordinates of [0, 1] N. We are interested in finding stationary Markov probabilities µ ∞ on [0, 1] N that maximize the value ∫ Adµ, among all stationary Markov probabilities µ on [0, 1] N. This problem correspond in Statistical Mechanics to the zero temperature case for the interaction described by the potential A. The main purpose of this paper is to show, under the hypothesis of uniqueness of the maximizing probability, a Large Deviation Principle for a family of absolutely continuous Markov probabilities µβ which weakly converges to µ∞. The probabilities µβ are obtained via an information we get from a Perron operator and they satisfy a variational principle similar to the pressure in Thermodynamic Formalism. As the potential A depends only on the first two coordinates, instead of the probability µ on [0, 1] N, we can consider its projection ν on [0, 1] 2. We look at the problem in both ways. If µ ∞ is the maximizing probability on [0, 1] N, we also have that its projection ν ∞ is maximizing for A. The hypothesis about stationary on the maximization problem can also be seen as a transhipment problem. Under the hypothesis of A being C 2 and the twist condition, that is, ∂2 A ∂x∂y (x, y) = 0, for all (x, y) ∈ [0, 1]2, we show the graph property of the maximizing probability ν on [0, 1] 2. Moreover, the graph is monotonous. We also show that, in the sense of Mañé, the maximizing probability is unique. Finally, we exhibit a separating sub-action for

研究动机与目标

• 分析仅依赖于前两个坐标的一类连续势函数 A 在 [0,1]^N 上的最大化平稳马尔可夫概率测度。
• 为一族在零温度下弱收敛于最大测度 µ∞ 的 µβ 概率测度建立大偏差原理（LDP）。
• 在扭曲条件下证明 µ∞ 在 [0,1]^2 上的投影 ν∞ 是最大化的，并具有单调图像。
• 在 C² 正则性与扭曲条件下，证明最大测度在 Mañé 意义下的唯一性。
• 为最大测度构造一个分离次作用，将遍历优化与热力学形式主义联系起来。

提出的方法

• 使用 Perron 算子构造一族绝对连续马尔可夫概率测度 µβ，使得当 β → ∞ 时，该族测度弱收敛于最大测度 µ∞。
• 将类似于热力学形式主义中压强的变分原理应用于 µβ 一族测度。
• 通过将测度 µ∞ 投影到 ν∞，将问题从 [0,1]^N 简化为 [0,1]^2，从而在二维状态空间上进行分析。
• 对所有 (x,y) ∈ [0,1]^2 施加扭曲条件 ∂²A/∂x∂y(x,y) = 0，以推导最大测度的结构性质。
• 利用 Mañé 的极小性概念，在 C² 正则性与扭曲条件下证明最大测度的唯一性。
• 构造一个分离次作用以表征最大测度，并支持变分原理。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于弱收敛于零温度下最大测度 µ∞ 的 µβ 概率族，是否成立大偏差原理？
• RQ2 在扭曲条件下，最大测度 µ∞ 在 [0,1]^2 上的投影 ν∞ 具有哪些结构性质？
• RQ3 当 A 为 C² 且满足扭曲条件时，最大测度 µ∞ 在 Mañé 意义下是否唯一？
• RQ4 能否为 [0,1]^2 上的最大测度 ν∞ 显式构造一个分离次作用？
• RQ5 µβ 的变分原理在零温度极限下如何与热力学形式主义中的压强函数相关联？

主要发现

• 在扭曲条件 ∂²A/∂x∂y = 0 下，[0,1]^2 上的最大测度 ν∞ 具有单调图像，意味着坐标之间存在确定性关系。
• 当 A 为 C² 且满足扭曲条件时，[0,1]^N 上的最大测度 µ∞ 在 Mañé 意义下是唯一的。
• 测度族 µβ 满足大偏差原理，其速率函数与相对熵及势函数 A 相关，且当 β → ∞ 时弱收敛于 µ∞。
• µ∞ 在 [0,1]^2 上的投影 ν∞ 是势函数 A 的最大测度，且 [0,1]^N 上的优化问题可等价地简化为 [0,1]^2 上的问题。
• 存在一个分离次作用用于最大测度 ν∞，在遍历优化的语境下提供了变分表征。
• µβ 的变分原理与热力学形式主义中的压强泛函相呼应，建立了遍历优化与零温度下统计力学之间的桥梁。