[论文解读] Negative Imaginary Systems Theory for Nonlinear Systems: A Dissipativity Approach

Ahmed G. Ghallab, Ian R. Petersen|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

Piezoelectric Actuators and Control被引用 7

一句话总结

该论文通过引入涉及输入和输出导数的时间域供给率，将负虚线性（NI）系统理论推广至非线性系统，采用耗散性框架。该研究建立了非线性负虚线（NNI）系统与弱严格NNI控制器在正反馈互连下的鲁棒渐近稳定性，并通过质量-弹簧-阻尼器系统示例进行了验证，进一步扩展至具有自由运动的系统。

ABSTRACT

Negative imaginary (NI) systems theory is a well-established system theoretic framework for analysis and design of linear-time-invariant (LTI) control systems. In this paper, we aim to generalize negative imaginary systems theory to a class of nonlinear systems. Based on the time domain interpretation of the NI property for LTI systems, a formal definition in terms of a dissipativity with an appropriate work rate will be used to define the nonlinear negative imaginary (NNI) property for a general nonlinear system. Mechanical systems with force actuators and position sensors are nonlinear negative imaginary according to this new definition. Using Lyapunov stability theory, we seek to establish a nonlinear generalization of the NI robust stability result for positive feedback interconnections of NNI systems. An example of a nonlinear mass-spring-damper system with force as input and displacement of the mass as output will be presented to illustrate the applicability of the NNI stability result. Furthermore, the case of NI systems with free motion will be investigated in the nonlinear domain based on the dissipativity framework of NNI systems.

研究动机与目标

• 通过时间域耗散性框架，将线性负虚线（NI）系统理论推广至一类非线性系统。
• 基于涉及输入和输出时间导数的供给率，正式定义非线性负虚线（NNI）特性。
• 在最小假设条件下，建立非线性负虚线（NNI）系统与弱严格NNI控制器在正反馈互连下的鲁棒渐近稳定性。
• 将NNI框架扩展至包含自由运动的系统，特别是通过与积分器级联的方式。
• 通过非线性质量-弹簧-阻尼器系统演示其适用性，并利用李雅普诺夫分析验证理论结果。

提出的方法

• 通过供给率 $ \sigma(y, u) = \dot{y}^T u $ 的耗散性框架定义NNI特性，捕捉从输入到输出导数的能量流动。
• 利用李雅普诺夫稳定性理论，证明在正反馈互连下闭环系统的渐近稳定性。
• 引入状态空间表示 $ \Sigma_1 $，其动力学为 $ \dot{\eta}_1 = f_1(\eta_1) + g_1(\eta_1)\xi $，$ y_1 = h_1(\eta_1) $，其中 $ \Sigma_1 $ 为NNI且零状态可观测。
• 将控制器 $ \Sigma_2 $ 建模为输入仿射的非线性系统 $ \dot{\eta}_2 = f_2(\eta_2) + g_2(\eta_2)u_2 $，$ y_2 = h_2(\eta_2) $，具有弱严格NNI（WS-NNI）特性。
• 通过利用NNI与WS-NNI特性的李雅普诺夫函数候选，建立稳定性，确保 $ \dot{V} \leq 0 $ 并实现对平衡点的渐近收敛。
• 通过分析非线性系统与积分器的级联，将框架扩展至具有自由运动的系统，证明在特定条件下此类系统仍保持NNI特性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过时间域耗散性框架，正式将负虚线特性从线性系统推广至非线性系统？
• RQ2 在非线性负虚线（NNI）系统与弱严格NNI（WS-NNI）控制器的正反馈互连中，哪些条件可确保鲁棒渐近稳定性？
• RQ3 NNI框架能否扩展至包含自由运动的系统，特别是涉及级联积分器的系统？
• RQ4 所提出的NNI定义如何应用于机械质量-弹簧-阻尼器系统等物理系统，其输入为力，输出为位移？
• RQ5 对于非线性系统，满足NNI特性的系统结构与供给率的必要且充分条件是什么？

主要发现

• 基于供给率 $ \sigma(y, u) = \dot{y}^T u $ 的耗散性，提出了一种非线性负虚线（NNI）系统的正式定义，将LTI NI特性推广至非线性领域。
• 在所提出的定义下，具有力执行器和位置传感器的机械系统被证明为NNI，验证了其物理相关性。
• 在较弱假设（包括零状态可观测性和局部利普希茨连续性）下，建立了NNI被控对象与WS-NNI控制器在正反馈互连下的鲁棒渐近稳定性。
• 展示了具有力输入和位移输出的非线性质量-弹簧-阻尼器系统满足NNI条件，其闭环稳定性通过李雅普诺夫分析得到证明。
• 框架被扩展至具有自由运动的系统：在适当条件下，输入仿射的非线性系统与积分器的级联系统被证明为NNI。
• 通过构造确保 $ \dot{V} \leq 0 $ 的李雅普诺夫函数，验证了稳定性结果，从而保证闭环系统原点的渐近稳定性。