[论文解读] Negative Orlicz-Sobolev norms and strongly nonlinear systems in fluid mechanics

Dominic Breit, Andrea Cianchi|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2014

Hydraulic Fracturing and Reservoir Analysis参考文献 49被引用 14

一句话总结

本文在Orlicz-Sobolev空间中建立了负范数定理，将经典的Nečas结果推广至非幂次型非线性情形。证明了Bogovskï̈i算子在Orlicz空间中的有界性，并将该框架应用于由一般本构定律控制的非牛顿流体模型中的压力重构，得到了有限元分析所需的关键先验估计。

ABSTRACT

We prove a version of the negative norm theorem in Orlicz-Sobolev spaces. A study of continuity properties of the Bogovskii -operator between Orlicz spaces is a crucial step, of independent interest, in our approach. Applications to the problem of pressure reconstruction for Non-Newtonian fluids governed by constitutive laws, which are not necessarily power type, are presented. A key inequality for a numerical analysis of the underlying elliptic system is also derived.

研究动机与目标

• 将经典的Nečas负范数定理从Lebesgue空间推广至Orlicz-Sobolev空间。
• 建立Bogovskï̈i算子在Orlicz空间之间有界性的性质，该结果具有独立兴趣。
• 将该理论应用于非牛顿流体力学中由强非线性系统产生的压力重构问题。
• 为非牛顿流体模型中椭圆系统的数值分析推导出关键的先验估计。

提出的方法

• 通过在左侧平衡Young函数的增长性，而在右侧采用稍弱的范数，推导出Orlicz-Sobolev空间中的负范数不等式。
• 通过Bogovskï̈i算子梯度的有界性，分析Orlicz空间中的散度方程。
• 利用奇异积分理论与Orlicz空间对偶性，控制压力范数相对于应力与速度场的大小。
• 将抽象框架应用于具有广义本构定律的定常非牛顿Stokes系统。
• 利用推导出的先验估计，建立有限元逼近的稳定性估计。
• 采用Orlicz空间嵌入与Hölder型不等式，控制压力重构中的误差。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典的Nečas负范数定理能否推广至一般Young函数（而非仅幂次型）的Orlicz-Sobolev空间？
• RQ2 Young函数A与B需满足何种必要与充分条件，才能使负范数不等式在Orlicz空间中成立？
• RQ3 如何在Orlicz空间中建立Bogovskï̈i算子的有界性？其对求解散度方程有何影响？
• RQ4 对于具有非幂次型本构定律的非牛顿流体模型，压力的合适函数空间是什么？
• RQ5 所推导的先验估计能否用于证明此类系统有限元方法的收敛性？

主要发现

• 在Orlicz-Sobolev空间中存在负范数不等式，其中左侧范数略弱于右侧，如定理3.1所述。
• 在Young函数A满足适当条件时，Bogovskï̈i算子有界地从$L^A(\Omega, \mathbb{R}^n)$映射到$W^{1,A}_0(\Omega, \mathbb{R}^n)$。
• 在非牛顿流体系统中，压力$\pi$属于$L^B(\Omega)$，其中Young函数$B$通过共轭关系与$A$关联，从而确保了压力空间的适定性。
• 推导出关键的先验估计：$\|\pi_h - \pi\|_{L^B(\Omega)} \leq C\big(\|\mathbf{H}_h - \mathbf{H}\|_{L^A(\Omega)} + \inf_{\mu_h} \|\mu_h - \pi\|_{L^A(\Omega)}\big)$，该估计适用于有限元逼近。
• 该估计在标准网格与有限元空间假设下，意味着有限元压力逼近的收敛性。
• 该结果适用于如Eyring-Prandtl模型等非牛顿模型，其中应力通过非多项式函数依赖于应变率。