[论文解读] Negative-Weight Shortest Paths and Unit Capacity Minimum Cost Flow in Õ(m 10/7 log W) Time.

Michael B. Cohen, Aleksander Mądry+2 more|arXiv (Cornell University)|May 5, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 3被引用 33

一句话总结

本文提出了一种在稀疏图上求解带负权边的最短路径、单位容量最小费用最大流及相关问题的新型Õ(m¹⁰/⁷ log W)时间算法。通过精细化分析以及新颖的预条件化与扰动技术，将内点法框架扩展至加权图领域，实现了这些问题在25多年来的首次多项式时间改进。

ABSTRACT

In this paper, we study a set of combinatorial optimization problems on weighted graphs: the shortest path problem with negative weights, the weighted perfect bipartite matching problem, the unit-capacity minimum-cost maximum flow problem and the weighted perfect bipartite $b$-matching problem under the assumption that $\Vert b\Vert_1=O(m)$. We show that each one of these four problems can be solved in $ ilde{O}(m^{10/7}\log W)$ time, where $W$ is the absolute maximum weight of an edge in the graph, which gives the first in over 25 years polynomial improvement in their sparse-graph time complexity. At a high level, our algorithms build on the interior-point method-based framework developed by Madry (FOCS 2013) for solving unit-capacity maximum flow problem. We develop a refined way to analyze this framework, as well as provide new variants of the underlying preconditioning and perturbation techniques. Consequently, we are able to extend the whole interior-point method-based approach to make it applicable in the weighted graph regime.

研究动机与目标

• 为稀疏加权图上的基础组合优化问题（包括带负权边的最短路径与单位容量最小费用最大流）开发更高效的算法。
• 突破这些问题长期存在的时间复杂度瓶颈，实现25多年来首次多项式时间改进。
• 将此前仅适用于无权图问题的基于内点法的框架扩展至可处理带负权边的加权图。
• 设计专为加权图环境定制的新预条件化与扰动技术，以实现更快的收敛速度。

提出的方法

• 将原本为单位容量最大流问题设计的内点法框架，适配至加权图场景。
• 提出对内点法的精细化分析，以考虑边权影响，从而获得更紧致的时间复杂度上界。
• 开发预条件化技术的新变体，以在负权边存在时维持数值稳定性并加速收敛。
• 应用一种新颖的扰动策略，在保持问题结构的同时改善条件数并减少迭代次数。
• 利用图的稀疏性及总权重W的有界性，在时间复杂度中实现对边数m的近乎线性依赖。
• 采用统一的算法框架，同时求解四类相关问题：带负权边的最短路径、单位容量最小费用最大流、加权完美二分图匹配，以及满足||b||₁ = O(m)的b-匹配问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 内点法框架能否被有效扩展，以高效求解带负权边的最短路径问题？
• RQ2 为保持在加权图环境下的效率，预条件化与扰动技术需做出哪些修改？
• RQ3 是否可能在单位容量最小费用最大流问题上，实现超越25年未变的复杂度界限的多项式时间改进？
• RQ4 如何调整内点法以应对负权边及大权值幅度带来的结构与数值挑战？
• RQ5 能否设计一个统一的算法框架，在相同时间复杂度内求解最短路径、最小费用最大流、匹配与b-匹配等多类相关问题？

主要发现

• 本文在带负权边的最短路径问题上实现了Õ(m¹⁰/⁷ log W)的时间复杂度，相比先前结果有显著提升。
• 单位容量最小费用最大流问题也实现了相同的Õ(m¹⁰/⁷ log W)时间复杂度，这是该问题在25多年来首次实现多项式时间改进。
• 该框架进一步扩展至求解加权完美二分图匹配与满足||b||₁ = O(m)的b-匹配问题，所有问题均在相同的Õ(m¹⁰/⁷ log W)时间复杂度内完成。
• 该改进源于对内点法的精细化分析，以及专为加权图设计的新预条件化与扰动技术。
• 结果表明，内点法可被有效应用于加权图领域，从而为解决基础组合优化问题提供更快速的解决方案。
• 该算法在边数m上保持近乎线性依赖，在最大边权W上保持对数依赖，使其在边权范围适中的稀疏图中表现出高效性能。