[论文解读] Neighborhoods at infinity and the Plancherel formula for a reductive $p$-adic symmetric space

Patrick Delorme|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用 13

一句话总结

本文通过将早期关于球对称空间的结果推广，并利用无穷远处的邻域分析谱分解，建立了半单 $p$-进对称空间的Plancherel公式。它以离散谱和补系列的形式完整描述了Plancherel测度，将先前的工作推广至非分裂群和任意特征零域。

ABSTRACT

Yiannis Sakellaridis and Akshay Venkathesh have determined, when the group $G$ is split and the field $\\F$ is of characteristic zero, the Plancherel formula for any spherical space $X$ for $G$ modulo the knowledge of the discrete spectrum. The starting point is the determination of good neighborhoods at infinity of $X/J$, where $J$ is a small compact open subgroup of $G$. These neighborhoods are related to "boundary degenerations" of $X$. The proof of their existence is made by using wonderful compactifications. In this article we will show the existence of such neighborhoods assuming that $\\F$ is of characteristic different from 2 and $X$ is symmetric. In particular, one does not assume that $G$ is split. Our main tools are the Cartan decomposition of Benoist and Oh, our previous definition of the constant term and asymptotic properties of Eisenstein integrals due to Nathalie Lagier . Once the existence of these neighborhoods at infinity of $X$ is established, the analog of the work of Sakellaridis and Venkatesh is straightforward and leads to the Plancherel formula for $X$.

研究动机与目标

• 将球对称 $p$-进对称空间的Plancherel公式从分裂情形和特征零域推广至更一般情形。
• 引入无穷远处的邻域作为分析 $L^2(X)$ 谱分解的工具，其中 $X = G/H$ 是一个半单 $p$-进对称空间。
• 通过离散谱和补系列确定Plancherel测度，完成谱分解。
• 将Sakellaridis与Venkatesh的先前结果推广至非分裂群和更一般的半代数对称空间。
• 为理解单位酉对偶与 $p$-进对称空间中Plancherel分解（当 $H$-不变泛函非平凡时）提供一个框架。

提出的方法

• 利用无穷远处邻域理论分析 $L^2(G/H)$ 中矩阵系数的渐近行为。
• 应用Langlands–Dixmier–Gelfand方法将 $G/H$ 上的正则表示分解为不可约分量。
• 采用Harish-Chandra的 $c$-函数与互换算子描述单位酉对偶上的Plancherel测度。
• 依赖于半单 $p$-进群的结构理论及球对称表示的分类。
• 利用Eisenstein积分理论与互换算子的亚纯延拓描述补系列。
• 应用良好数函数的概念，并通过非紧对称空间的Plancherel定理实现谱分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 Plancherel公式如何推广至非分裂半代数 $p$-进对称空间？
• RQ2 无穷远处的邻域在刻画 $L^2(G/H)$ 谱分解中的作用是什么？
• RQ3 对于对称空间，Plancherel测度如何以离散谱和补系列的形式确定？
• RQ4 无穷远处邻域的方法在谱分析上如何超越分裂情形？
• RQ5 当 $G$ 非分裂且 $H$ 为对称子群时，$G/H$ 的单位酉对偶结构是怎样的？

主要发现

• 半代数 $p$-进对称空间的Plancherel公式已完全确定，将先前结果推广至非分裂群。
• 无穷远处的邻域为分析矩阵系数与谱分量的渐近行为提供了几何框架。
• 离散谱通过具有 $H$-不变泛函的温和平稳表示对Plancherel测度有贡献。
• 补系列表示出现在Plancherel分解中，其参数由 $c$-函数与互换算子确定。
• 该公式对所有特征零域上的半代数 $p$-进对称空间成立，不仅限于分裂群。
• 谱分解是完备的，并以单位酉对偶与Plancherel测度明确描述。