[论文解读] Neighborhoods of Analytic Varieties in Complex Manifolds

César Camacho, Hossein Movasati|ArXiv.org|Aug 7, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用 6

一句话总结

本文将格劳埃尔的形式原理推广至复流形中的叶状邻域，建立了在何种条件下，复曲面上黎曼曲面附近两个横截叶状结构形式等价的条件。通过上同调障碍与塞尔对偶性，证明了当自交数 $A.A$ 相对于亏格与切触性足够负时，形式同构得以保证。

ABSTRACT

The systematic study of neighborhoods of analytic varieties was started by H. Grauert in his celebrated article 1962. In that article he considers a manifold X and a negatively embedded submanifold A subset X. He introduces n-neighborhood, n in N, of A and studies when an isomorphism of two n-neighborhoods can be extended to an isomorphism of (n+1)-neighborhoods. He observes that obstructions to this extension problem lie in the first cohomology group of certain sheaves involving the normal bundle of A in X. Using a version of Kodaira vanishing theorem he shows that for a large n these cohomology groups vanish and so he concludes that the germ of a negatively embedded manifold A depends only on a finite neighborhood of it. These methods are generalized to a germ of an arbitrary negatively embedded divisor A by Hironaka, Rossi and Laufer. In the case where A is a Riemann surface embedded in a two dimensional manifold, by using Serre duality we can say exactly which finite neighborhood of A determines the embedding. This isa first draft of an expository article about negatively embedded varieties. The text is mainly based on Grauert's paper, but we have used also the contributions of subsequent authors; for instance the Artin's criterion on the existence of convergent solutions is used instead of Grauert's geometrical methods. Our principal aim is to extend this study to the germ of foliated neighborhoods and singularities. In the first steps we will consider the most simple foliations which are transversal foliations. Next, foliations with tangencies and Poincare type singularities will be considered.

研究动机与目标

• 将格劳埃尔的形式原理从解析子集推广至复流形中的叶状邻域。
• 对嵌入复流形 $X$ 中的子簇 $A$ 附近的全纯叶状结构芽进行分类，特别关注横截与切触叶状结构。
• 确定两个叶状结构形式等价的条件，尤其关注复曲面中黎曼曲面的情形。
• 利用上同调障碍与塞尔对偶性，建立形式同构的收敛性与存在性。
• 将阿廷的收敛解准则推广至叶状结构，以同调技巧替代格劳埃尔的几何方法。

提出的方法

• 使用形式邻域构造 $A_{(\nu)} = \tilde{\rho}^*({\rm O}_X / \frak{M}^\nu)$ 及逆极限 $A_{(\nu)} \to A_{(\nu-1)}$ 定义形式完备化 $A_{(\nu)}$。
• 应用格劳埃尔的逐步延拓方法，其中同构延拓的障碍位于涉及法丛与叶状结构切丛层的 $H^1$ 中。
• 引入层 $\mathcal{T}_{\mathcal{F}}(\nu) = \mathcal{T}_{\mathcal{F}} \otimes \mathcal{Q}_\nu$ 以参数化保持叶状结构的 $\nu$-邻域的自同构。
• 利用塞尔对偶性计算 $H^1(A, \mathcal{T}_{\mathcal{F}}(\nu))$，并证明当 $c(\Omega \otimes T_{\mathcal{F}}^* \otimes N^\nu) < 0$ 时其消失。
• 利用同构 $\operatorname{Aut}(\nu, \mathcal{F}) \cong \mathcal{T}_{\mathcal{F}}(\nu)$ 将 $\nu$ 阶向量场与 $\nu$-邻域的自同构联系起来。
• 应用阿廷准则将形式同构提升为收敛同构，取代格劳埃尔的几何收敛性论证。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，复流形中子簇 $A$ 的两个叶状邻域之间的形式同构是收敛的？
• RQ2 复曲面 $X$ 中黎曼曲面 $A$ 邻域上两个横截叶状结构何时形式等价？
• RQ3 涉及法丛与叶状结构的层的 $H^1$ 中的上同调障碍如何影响同构的延拓？
• RQ4 塞尔对偶性在决定形式同构障碍消失性方面起什么作用？
• RQ5 能否将解析子集的形式原理推广至包含叶状结构的情形？其必要的拓扑与几何条件是什么？

主要发现

• 保持叶状结构 $\mathcal{F}$ 的 $\nu$-邻域的自同构群同构于 $\mathcal{T}_{\mathcal{F}}(\nu)$，即切于 $\mathcal{F}$ 的 $\nu$ 阶向量场层。
• 对于嵌入复曲面 $X$ 中的亏格为 $g$ 的黎曼曲面 $A$，若 $A.A < \min\{0, 2 - 2g - \operatorname{tang}(\mathcal{F}, A)\}$，则两个非奇异、横截叶状结构 $\mathcal{F}$ 与 $\mathcal{F}'$ 的形式同构存在。
• 延拓 $\nu$-邻域之间同构的障碍位于 $H^1(A, \mathcal{T}_{\mathcal{F}}(\nu))$，当第一陈类条件 $c(\Omega \otimes T_{\mathcal{F}}^* \otimes N^\nu) < 0$ 成立时该群消失。
• 条件 $A.A < 2 - 2g - \operatorname{tang}(\mathcal{F}, A)$ 确保通过塞尔对偶性，上同调群 $H^1(A, \mathcal{T}_{\mathcal{F}}(\nu))$ 消失。
• 形式邻域 $A_{(\infty)} = \varprojlim A_{(\nu)}$ 捕获了嵌入的芽，其结构决定了叶状邻域的形式等价类。
• 使用阿廷准则可将形式同构提升为收敛同构，从而在所述拓扑条件下保证形式等价蕴含实际的局部全纯同胚。