[论文解读] Neighbourhood family percolation

Béla Bollobás, Paul Smith+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics被引用 4

一句话总结

本文引入并分析了 $\bullet$-bootstrap percolation，这是一种在 $\bullet^d$ 上具有任意局部更新规则和随机初始配置的两状态、确定性、单调细胞自动机的一般框架。在二维情况下，该文将模型分类为超临界、临界和亚临界三类，证明了在 $(\bullet/ n\bullet)^2$ 上的渗透临界概率为临界模型的 $(\log n)^{-\Theta(1)}$ 和超临界模型的 $n^{-\Theta(1)}$，建立了首个无需对称性假设的通用理论。

ABSTRACT

In this paper we study in complete generality the family of two-state, deterministic, monotone, local, homogeneous cellular automata in $\mathbb{Z}^d$ with random initial configurations. Formally, we are given a set $\mathcal{U}=\{X_1,\dots,X_m\}$ of finite subsets of $\mathbb{Z}^d\setminus\{\mathbf{0}\}$, and an initial set $A_0\subset\mathbb{Z}^d$ of `infected' sites, which we take to be random according to the product measure with density $p$. At time $t\in\mathbb{N}$, the set of infected sites $A_t$ is the union of $A_{t-1}$ and the set of all $x\in\mathbb{Z}^d$ such that $x+X\in A_{t-1}$ for some $X\in\mathcal{U}$. Our model may alternatively be thought of as bootstrap percolation on $\mathbb{Z}^d$ with arbitrary update rules, and for this reason we call it $\mathcal{U}$-bootstrap percolation. In two dimensions, we give a classification of $\mathcal{U}$-bootstrap percolation models into three classes -- supercritical, critical and subcritical -- and we prove results about the phase transitions of all models belonging to the first two of these classes. More precisely, we show that the critical probability for percolation on $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^2$ is $(\log n)^{-\Theta(1)}$ for all models in the critical class, and that it is $n^{-\Theta(1)}$ for all models in the supercritical class. The results in this paper are the first of any kind on bootstrap percolation considered in this level of generality, and in particular they are the first that make no assumptions of symmetry. It is the hope of the authors that this work will initiate a new, unified theory of bootstrap percolation on $\mathbb{Z}^d$.

研究动机与目标

• 开发一个通用的、无需对称性的框架，用于研究 $\bullet^d$ 上具有任意局部更新规则的 bootstrap percolation。
• 将所有二维 $\bullet$-bootstrap percolation 模型划分为三个普适类别：超临界、临界和亚临界。
• 确定在所有超临界和临界类别模型中，有限系统 $(\bullet/ n\bullet)^2$ 上的渗透临界概率。
• 建立首个不假设对称性或规则规则性条件的 bootstrap percolation 综合理论。

提出的方法

• 模型由 $\bullet^d \setminus \{\mathbf{0}\}$ 的有限子集族 $\mathcal{F} = \{X_1, \dots, X_m\}$ 定义，代表邻域配置。
• 初始感染通过参数为 $p$ 的乘积测度实现，每个站点以概率 $p$ 独立地被感染。
• 动力学过程为确定性演化：在每个时间步，若任意 $X_i \in \mathcal{F}$ 的平移在前一oredre中完全被感染，则该站点被感染。
• 该过程具有单调性：一旦被感染，站点将保持感染状态，且感染站点集合随时间增长。
• 分析聚焦于在环面 $(\bullet/ n\bullet)^2$ 上的渗透临界概率 $p_c(n)$，定义为全感染变得可能的阈值。
• 超临界、临界和亚临界类别的分类基于二维空间中更新族 $\mathcal{F}$ 的几何与组合性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限二维环面 $(\bullet/ n\bullet)^2$ 上的 $\bullet$-bootstrap percolation 中，渗透的临界概率是多少？
• RQ2 对于不同类型的更新族 $\mathcal{F}$，临界概率如何随 $n$ 变化？
• RQ3 能否在不假设对称性的前提下，建立 $\bullet$-bootstrap percolation 模型的通用分类？
• RQ4 从渗透阈值角度看，超临界、临界和亚临界模型有何本质区别？
• RQ5 临界和超临界类别模型的临界概率的渐近行为如何？

主要发现

• 对于二维 $\bullet$-bootstrap percolation 中所有临界类模型，在 $(\bullet/ n\bullet)^2$ 上的临界概率为 $(\log n)^{-\Theta(1)}$。
• 对于所有超临界类模型，在 $(\bullet/ n\bullet)^2$ 上的临界概率为 $n^{-\Theta(1)}$。
• 超临界、临界和亚临界类别的分类仅基于二维空间中更新族 $\mathcal{F}$ 的几何与组合结构。
• 这些结果是首次在完全一般条件下建立 bootstrap percolation 中的相变行为，且无需对称性假设。
• 该框架统一并推广了以往模型，为 $\bullet^d$ 上 bootstrap percolation 的新综合理论奠定了基础。