[论文解读] Neron models over moduli of stable curves

Lucia Caporaso|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2005

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems被引用 1

一句话总结

本文证明了在稳定曲线模堆栈上存在通用堆栈，这些堆栈可实现总空间为正规的单参数稳定曲线族的雅可比簇的内罗模型。此外，本文还构建了通用佩卡尔丛的堆栈紧化，为这类族的内罗模型提供了几何上有意义的完备化。

ABSTRACT

We prove that there exist some stacks, representable over the stack of stable curves, having the following universal property with respect to Neron models of Jacobians. For every one-parameter family of stable curves, with regular total space, the Neron model of the Jacobian of its generic fibre is isomorphic to the base change of the above stacks via the moduli map of the given family. We also obtain a stack compactification of the universal Picard scheme and hence a geometrically meaningful completion of the Neron model of the Jacobian for every family as above.

研究动机与目标

• 在稳定曲线模堆栈上构造通用堆栈，使其对总空间为正规的稳定曲线族的雅可比簇实现内罗模型。
• 为通用佩卡尔丛提供一种几何上有意义的紧化。
• 通过堆栈理论方法，将内罗模型理论扩展至稳定曲线族。
• 建立雅可比簇的内罗模型与族的模映射沿基变换的通用性质。

提出的方法

• 利用代数堆栈与形变理论，在稳定曲线模堆栈上构造堆栈。
• 将内罗模型理论应用于总空间为正规的稳定曲线族。
• 通过族的模映射沿基变换，将一般纤维的内罗模型与所构造的堆栈联系起来。
• 利用几何不变理论与模理论技术，构建通用佩卡尔丛的堆栈紧化。
• 依赖于族的总空间的正规性，以确保内罗模型的存在性与唯一性。
• 通过验证与基变换及模映射的相容性，确立通用性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在稳定曲线模堆栈上构造一个通用堆栈，使得其对每个总空间为正规的稳定曲线族的雅可比簇实现内罗模型？
• RQ2 如何以几何上有意义的方式紧化通用佩卡尔丛？
• RQ3 一个族的雅可比簇的内罗模型与沿该族模映射的通用堆栈基变换之间存在何种关系？
• RQ4 能否通过堆栈理论构造，几何地完成雅可比簇的内罗模型？
• RQ5 该构造对稳定曲线族满足何种通用性质？

主要发现

• 在稳定曲线模堆栈上存在一个堆栈，可对任意总空间为正规的单参数稳定曲线族的雅可比簇普遍实现其内罗模型。
• 该族一般纤维的雅可比簇的内罗模型，通过族的模映射与该通用堆栈的基变换同构。
• 已构建通用佩卡尔丛的堆栈紧化，为这类族的内罗模型提供了几何完备化。
• 该构造确保内罗模型的完备化尊重族的模理论结构。
• 通用性质在所有总空间为正规的族中普遍成立，建立了模映射与内罗模型之间的规范联系。
• 本研究通过堆栈理论与模理论方法，将内罗模型理论扩展至稳定曲线的背景。