[论文解读] Nested sampling on non-trivial geometries

Kamran Javid|arXiv (Cornell University)|May 22, 2019

Pulsars and Gravitational Waves Research参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文提出一种几何嵌套采样算法，通过将提议分布包裹在周期性域上或转换为笛卡尔坐标系，提升在圆、环面和球面等流形上的采样效率，防止因点落在定义域外而被自动拒绝。该方法在高维环面和球面几何下的多模态后验分布恢复中优于 MultiNest，尤其在活点数量较少时表现更优。

ABSTRACT

Metropolis nested sampling evolves a Markov chain from a current livepoint and accepts new points along the chain according to a version of the Metropolis acceptance ratio modified to satisfy the likelihood constraint, characteristic of nested sampling algorithms. The geometric nested sampling algorithm we present here is a based on the Metropolis method, but treats parameters as though they represent points on certain geometric objects, namely circles, tori and spheres. For parameters which represent points on a circle or torus, the trial distribution is `wrapped' around the domain of the posterior distribution such that samples cannot be rejected automatically when evaluating the Metropolis ratio due to being outside the sampling domain. Furthermore, this enhances the mobility of the sampler. For parameters which represent coordinates on the surface of a sphere, the algorithm transforms the parameters into a Cartesian coordinate system before sampling which again makes sure no samples are automatically rejected, and provides a physically intutive way of the sampling the parameter space. We apply the geometric nested sampler to two types of toy model which include circular, toroidal and spherical parameters. We find that the geometric nested sampler generally outperforms extsc{MultiNest} in both cases. \\ %We also apply the algorithm to a gravitational wave detection model which includes circular and spherical parameters, and find that the geometric nested sampler and extsc{MultiNest} appear to perform equally well as one another. Our implementation of the algorithm can be found at \url{https://github.com/SuperKam91/nested_sampling}.

研究动机与目标

• 为解决标准嵌套采样在定义于非平凡流形（如圆、环面和球面）上的分布中采样效率低下的问题。
• 提升采样器在受限参数空间中的移动性，减少因定义域边界效应导致的提议自动拒绝。
• 开发一种基于几何信息的 Metropolis 嵌套采样算法变体，以尊重圆形、环面和球形参数的内在拓扑结构。
• 在具有圆形、环面和球面对称性的玩具模型上评估性能，尤其关注高维多模态后验分布的恢复。
• 证明几何嵌套采样在恢复流形上复杂且对称的模式时，可优于标准算法（如 MultiNest）。

提出的方法

• 对于圆形和环形参数，算法将提议分布包裹在周期性定义域上，确保所有提议点均位于有效采样空间内。
• 该包裹机制可防止因定义域边界导致的提议自动拒绝，显著提升移动性，尤其在边缘或不连续区域。
• 对于球形参数，算法将角度坐标（如极角和方位角）映射到欧氏空间中的笛卡尔坐标以进行采样。
• 转换至笛卡尔空间可确保无提议因超出球面定义域而被拒绝。
• 该算法使用一种修改后的 Metropolis 接受率，以尊重似然约束，同时保持参数空间中的几何一致性。
• 该方法使用 Python 2.7 实现，并应用于包括圆上 von Mises 分布、6 维环面以及球面上多个 Kent 分布花朵的玩具模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 一种尊重圆形、环面和球形参数几何结构的嵌套采样算法，是否能提升采样效率和移动性？
• RQ2 在高维环面和球面流形上恢复多模态后验分布时，几何嵌套采样相较于 MultiNest 表现如何？
• RQ3 使用包裹提议或笛卡尔坐标变换是否能减少被拒绝样本数量，并改善受限参数空间中的收敛性？
• RQ4 在复杂且对称的分布中，几何嵌套采样在活点数量较少时，是否显著优于 MultiNest？
• RQ5 几何嵌套采样是否能比标准嵌套采样方法更好地保持多模态特征（如球面上的‘花瓣’）的对称性和形状？

主要发现

• 在圆形玩具模型（von Mises 分布）上，几何嵌套采样（MG）与 MultiNest（MN）表现相当，因维度较低。
• 在具有 60 个四分之一峰的 6 维环面模型上，MG 使用 50 个活点能良好恢复所有峰，而 MN 完全遗漏三个峰且对 14 个峰恢复不佳。
• 当使用 500 个活点时，MN 性能有所提升，但仍逊于 MG，而 MG 保持一致性能，表明 MG 在活点数量较少时更具鲁棒性。
• 在 12 维问题中，六个球面各具八个对称花瓣，两种算法均未能完美恢复真实分布，但 MG 更好地保持了模式的对称性和形状。
• 几何嵌套采样在性能上的优势源于其将问题视为几何空间中的单峰问题，避免了 MultiNest 在高维对称流形中因聚类陷阱导致的性能下降。
• 该实现代码可在 https://github.com/SuperKam91/nested_sampling 获取，但与基于 FORTRAN 的工具（如 MultiNest 或 POLYCHORD）相比，其性能未经过高度优化。