[论文解读] Nested subclasses of the class of $α$-selfdecomposable distributions

Makoto Maejima, Yohei Ueda|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文通过两种方法——极限定理与无限可分分布的映射——引入并分析了 ℝᵈ 上 α-自相似分布的嵌套子类。主要贡献在于统一表征了这些嵌套子类的极限类，即 α-自相似分布类与严格稳定分布类的闭包的交集，且给出了依赖于 α 的显式条件，特别是针对 α ∈ (0,2) 的情形。

ABSTRACT

A probability distribution $μ$ on $\mathbb R ^d$ is selfdecomposable if its characteristic function $\widehatμ(z), z\in\mathbb R ^d$, satisfies that for any $b>1$, there exists an infinitely divisible distribution $ρ_b$ satisfying $\widehatμ(z) = \widehatμ(b^{-1}z)\widehatρ_b(z)$. This concept has been generalized to the concept of $α$-selfdecomposability by many authors in the following way. Let $α\in\mathbb R$. An infinitely divisible distribution $μ$ on $\mathbb R ^d$ is $α$-selfdecomposable, if for any $b>1$, there exists an infinitely divisible distribution $ρ_b$ satisfying $\widehatμ(z) = \widehat μ(b^{-1}z)^{b^α}\widehatρ_b(z)$. By denoting the class of all $α$-selfdecomposable distributions on $\mathbb R ^d$ by $L^{\leftangleα ightangle}(\mathbb R ^d)$, we define in this paper a sequence of nested subclasses of $L^{\leftangleα ightangle}(\mathbb R ^d)$, and investigate several properties of them by two ways. One is by using limit theorems and the other is by using mappings of infinitely divisible distributions.

研究动机与目标

• 在 ℝᵈ 上定义并研究 α-自相似分布类中的一组嵌套子类的层级结构。
• 通过两种互补方法——极限定理与无限可分分布的映射——研究这些子类的结构与性质。
• 统一表征所有实数 α 下这些嵌套子类的极限类，尤其区分 α ≤ 0、0 < α < 1、α = 1 与 1 < α < 2 的行为。
• 建立映射 Φₐ 的迭代应用与极限类之间的联系，证明其收敛于特定分布类的交集。

提出的方法

• 通过递归定义嵌套子类 Lₘ^(⟨α⟩)(ℝᵈ)：对每个 b > 1，要求特征函数满足 μ̂(z) = μ̂(b⁻¹z)^{b^α} ρ_b(z)，其中 ρ_b ∈ Lₘ₋₁^(⟨α⟩)(ℝᵈ)，起始于 L₀^(⟨α⟩)(ℝᵈ) = L^(⟨α⟩)(ℝᵈ)。
• 使用包含无穷小三角阵列的极限定理：一列独立随机变量 {Xₙ}，缩放序列 {aₙ} ↓ 0，中心化序列 {cₙ}，使得 aₙ⁻¹∑ⱼ₌₁ⁿ XⱯ + cₙ 在分布上收敛于 μ。
• 在概率测度空间上定义映射 Φₐ，通过迭代生成嵌套子类：Φₐ^m+1(𝕀(ℝᵈ)) 生成 Lₘ^(⟨α⟩)(ℝᵈ)。
• 利用 α-自相似分布类与严格稳定分布类的闭包 cl(S(ℝᵈ)) 的交集，表征这些嵌套子类在 m → ∞ 时的极限。
• 建立等价关系 limₘ→∞ 𝔒(Φₐ^{m+1}) = L^(⟨α⟩)(ℝᵈ) ∩ cl(S(ℝᵈ)) 对所有 α ∈ ℝ 成立，并根据 α 的取值提供细化的表征。
• 使用涉及谱测度与参数 β 的积分条件，表征极限中中心化项的性质，尤其针对 α = 1 与 α ∈ (1,2) 的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 m → ∞ 时，嵌套子类 Lₘ^(⟨α⟩)(ℝᵈ) 的极限类对不同实数 α ∈ ℝ 是什么？
• RQ2 极限定理与无限可分分布的映射在表征 α-自相似分布的嵌套子类时有何关联？
• RQ3 这些嵌套子类的极限类能否在所有 α ∈ ℝ 上统一表达？若能，其统一形式为何？
• RQ4 严格稳定分布类的闭包在这些嵌套子类的极限表征中起何作用？
• RQ5 对不同 α ∈ (0,2) 的情形，Lévy 测度与谱测度的条件如何影响极限类的收敛性与结构？

主要发现

• 当 m → ∞ 时，嵌套子类 Lₘ^(⟨α⟩)(ℝᵈ) 的极限类对所有 α ∈ ℝ 均为 L^(⟨α⟩)(ℝᵈ) ∩ cl(S(ℝᵈ))，提供了对所有实数 α 的统一表征。
• 当 α ≤ 0 时，极限类为 L^(⟨α⟩)(ℝᵈ) ∩ cl(S(ℝᵈ)) = L^(⟨α⟩)(ℝᵈ) ∩ {δ₀}，即唯一可能的极限是零点处的退化分布。
• 当 0 < α < 1 时，极限类为 L^(⟨α⟩)(ℝᵈ) ∩ cl(S(ℝᵈ)) ∩ ℂₐ(ℝᵈ)，其中 ℂₐ(ℝᵈ) 表示谱测度满足特定矩条件的一类分布。
• 当 α = 1 时，极限类通过谱测度的额外积分条件表征，涉及 Beta 函数与中心化项 γ。
• 当 1 < α < 2 时，极限类为 L^(⟨α⟩)(ℝᵈ) ∩ cl(S(ℝᵈ)) ∩ I₁⁰(ℝᵈ)，其中 I₁⁰(ℝᵈ) 是一阶绝对矩有限的无限可分分布类。
• 迭代映射 Φₐ^{m+1} 的极限收敛于 L^(⟨α⟩)(ℝᵈ) ∩ cl(S(ℝᵈ))，证实了基于映射与基于极限定理的表征具有一致性。