[论文解读] Nets of graded $C^*$-algebras over partially ordered sets

S. А. Grigoryan, E. V. Lipacheva+1 more|arXiv (Cornell University)|May 9, 2019

Advanced Algebra and Logic参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文引入了基于偏序集上希尔伯特空间网的C*-代数网，表明每个局部C*-代数均被偏序集K的首同伦群π₁(K)所分级。研究证明，这些代数的归纳极限（冠状代数）也具有π₁(K)-分级，且此类网之间的态射在诱导同态φ*为单射时，会在代数上诱导出保持分级的graded态射。

ABSTRACT

The paper deals with $C^*$-algebras generated by a net of Hilbert spaces over a partially ordered set. The family of those algebras constitutes a net of $C^*$-algebras over the same set. It is shown that every such an algebra is graded by the first homotopy group of the partially ordered set. We consider inductive systems of $C^*$-algebras and their limits over maximal directed subsets. We also study properties of morphisms for nets of Hilbert spaces as well as nets of $C^*$-algebras.

研究动机与目标

• 从偏序集K上的希尔伯特空间网构造C*-代数。
• 证明这些C*-代数被偏序集K的首同伦群π₁(K)所分级。
• 定义并研究局部C*-代数的归纳极限（冠状代数），并证明其继承π₁-分级。
• 分析C*-代数网之间的态射及其对分级的行为。
• 建立态射保持分级的条件，特别是当诱导映射φ*在π₁上为嵌入时。

提出的方法

• 利用序关系及其逆关系，在偏序集K上定义基本路径与环路。
• 通过组合基本路径并依据四个公理（1）–（4）定义等价关系，识别可复合路径，构造K的路径半群。
• 形成商集S̃ = S/~，其在诱导乘法运算下构成一个群概。
• 将首同伦群π₁(K)定义为在固定基点处的环路等价类构成的群，群运算由路径连接诱导。
• 对每个a ∈ K，构造C*-代数A_a^K，作为在π₁(K)上的直和的闭包，使用与路径关联的酉算子。
• 通过偏序集的态射φ: K → L及其在代数上的诱导映射，定义C*-代数网之间的态射，证明当φ*为单射时，其与分级相容。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从偏序集K上希尔伯特空间的网构造C*-代数？
• RQ2 首同伦群π₁(K)在结果C*-代数的分级中起什么作用？
• RQ3 局部C*-代数的归纳极限（冠状代数）如何继承π₁-分级？
• RQ4 在何种条件下，C*-代数网之间的态射会保持π₁-分级？
• RQ5 当诱导同态φ*在π₁上不是单射时，分级会发生什么变化？

主要发现

• 每个局部C*-代数A_a^K自然地被偏序集K的首同伦群π₁(K)所分级。
• 局部C*-代数的归纳极限（冠状代数）也具有π₁(K)-分级，且该分级继承自局部代数。
• C*-代数网之间的态射在且仅在诱导同态φ*在π₁上为嵌入时，会在代数上诱导出保持分级的graded态射。
• 在X = Y ∕ {(0,0)}且Y为单位圆盘的例子中，φ*将π₁(X) = ℤ映射到π₁(Y) = {0}，且诱导态射Φ*不是单射，说明φ*为单射是保持分级的必要条件。
• 当π₁(K) = ℤ时，C*-代数A_a^K同构于C(S¹)，由一个酉移位算子生成；而当π₁(L)平凡时，A_x^L同构于ℂ，说明分级依赖于拓扑结构。