[论文解读] Network Reconstruction from Intrinsic Noise

David Hayden, Ye Yuan+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2013

Gene Regulatory Network Analysis参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文研究仅从输出测量数据出发，重建由内在随机噪声驱动的未知线性时不变（LTI）动力系统网络的问题。当闭环传递函数矩阵为最小相位时，网络重构可从输出功率谱密度唯一确定；否则，所有等价网络均对应于一个单一的代数Riccati方程（ARE）的解，且解的个数受限于隐状态的数量。

ABSTRACT

This paper considers the problem of inferring an unknown network of dynamical systems driven by unknown, intrinsic, noise inputs. Equivalently we seek to identify direct causal dependencies among manifest variables only from observations of these variables. For linear, time-invariant systems of minimal order, we characterise under what conditions this problem is well posed. We first show that if the transfer matrix from the inputs to manifest states is minimum phase, this problem has a unique solution irrespective of the network topology. This is equivalent to there being only one valid spectral factor (up to a choice of signs of the inputs) of the output spectral density. If the assumption of phase-minimality is relaxed, we show that the problem is characterised by a single Algebraic Riccati Equation (ARE), of dimension determined by the number of latent states. The number of solutions to this ARE is an upper bound on the number of solutions for the network. We give necessary and sufficient conditions for any two dynamical networks to have equal output spectral density, which can be used to construct all equivalent networks. Extensive simulations quantify the number of solutions for a range of problem sizes. For a slightly simpler case, we also provide an algorithm to construct all equivalent networks from the output spectral density.

研究动机与目标

• 确定仅从输出测量数据出发，在系统由内在噪声驱动时，未知LTI系统网络在何种条件下可被唯一重构。
• 在不假设最小相位条件时，表征所有产生相同输出功率谱密度的网络集合。
• 为在简化情形下，基于输出功率谱密度系统性地构造所有等价网络。
• 建立两个动力网络具有相同输出功率谱密度的必要且充分条件。
• 通过在不同问题规模下的仿真，量化网络重构问题的解的个数。

提出的方法

• 本文利用输出功率谱密度的谱分解，将可观测数据与潜在网络结构关联起来。
• 证明对于最小相位系统，谱分解在输入符号选择范围内唯一，从而确保网络重构的唯一性。
• 对于非最小相位系统，问题简化为求解一个维度等于隐状态数量的单一代数Riccati方程（ARE）。
• 该ARE的解与所有匹配观测输出功率谱密度的可能网络一一对应。
• 作者基于状态空间实现与谱分解理论，推导出两个网络具有相同输出功率谱密度的必要且充分条件。
• 提供一种算法，用于在简化情形下基于功率谱密度与ARE解的结构，构造所有等价网络。

实验结果

研究问题

• RQ1 当仅能获取输出测量数据且系统由内在噪声驱动时，网络重构问题在何种条件下是适定的？
• RQ2 哪些网络集合能够产生与给定系统相同的输出功率谱密度？
• RQ3 网络重构问题的解的个数如何依赖于系统结构与隐状态数量？
• RQ4 该问题是否可约化为求解单个代数Riccati方程（ARE），这对可辨识性意味着什么？
• RQ5 两个不同动力网络在输出功率谱密度方面实现观测等价的必要且充分条件是什么？

主要发现

• 当闭环传递函数矩阵为最小相位时，网络重构问题具有唯一解，即网络结构可从输出功率谱密度唯一确定。
• 对于非最小相位系统，等价网络的数量受限于单个代数Riccati方程（ARE）的解的数量，且ARE的维度等于隐状态的数量。
• 所有具有相同输出功率谱密度的网络均对应于同一ARE的不同解，从而完整刻画了观测等价性。
• 本文提供了一种构造性算法，可在简化情形下从输出功率谱密度生成所有等价网络。
• 仿真结果表明，解的个数随系统规模增长，但始终保持有限，且被ARE解的数量紧密约束。
• 理论框架表明，两个网络具有相同输出功率谱密度当且仅当其状态空间实现满足由ARE导出的特定谱分解与矩阵等式条件。