[论文解读] Neumann problem for non-divergence elliptic and parabolic equations with BMO$_x$ coefficients in weighted Sobolev spaces

Hongjie Dong, Doyoon Kim+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2015

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文建立了在加权Sobolev空间中，针对具有Neumann边界条件的非散度型椭圆与抛物型方程的$L_p$估计及唯一可解性，其中主系数在时间上可测，且在空间上关于加权测度具有小的平均振荡（BMO$_x$）。关键结果是引入参数$ \lambda$的$L_p$估计，确保当$ \lambda$足够大时方程可解，该方法将Krylov的方法推广至加权空间与BMO$_x$系数情形，并可应用于随机偏微分方程（SPDEs）。

ABSTRACT

We prove the unique solvability in weighted Sobolev spaces of non-divergence form elliptic and parabolic equations on a half space with the homogeneous Neumann boundary condition. All the leading coefficients are assumed to be only measurable in the time variable and have small mean oscillations in the spatial variables. Our results can be applied to Neumann boundary value problems for {\em stochastic} partial differential equations with BMO$_x$ coefficients.

研究动机与目标

• 在加权Sobolev空间中，建立具有Neumann边界条件的非散度型椭圆与抛物型方程的$L_p$估计及唯一可解性。
• 将Krylov针对BMO$_x$系数的$L_p$理论推广至具有加权测度的Neumann问题设置。
• 处理在时间上可测、且在空间变量上关于加权测度$x_1^{\theta-d}$具有小平均振荡的主系数。
• 为随机偏微分方程（SPDEs）中具有BMO$_x$系数的情形提供可应用的理论框架。
• 通过允许Neumann边界条件和更广泛的系数类，推广先前针对Dirichlet问题的研究结果。

提出的方法

• 基于仅在时间上可测的系数方程的平均振荡估计，采用扰动论证方法。
• 利用加权$L_p$空间中的Fefferman–Stein尖锐极大函数定理与Hardy–Littlewood极大函数定理，推导出$L_p$估计。
• 将二阶导数$D^2u$分为两部分处理：通过求导后转化为散度型方程处理$D_1u$，并通过在$x_1$与$x'$方向分别进行振荡估计处理$D_{x'}^2u$。
• 应用尺度变换与紧致性论证，将问题约化为时间不变系数情形下的局部化设置，其中$R_0 = 0$。
• 引入截断函数与基于振荡的辅助函数$\hat{u}(t,z) = u(t,x)\zeta(y)\cos(\sqrt{\lambda}y)$，将问题转化为具有周期结构的高维设置。
• 采用逐步提升（bootstrapping）论证，吸收低阶项，最终获得估计式$\lambda\|u\|_{p,\theta} \leq C_0\|f\|_{p,\theta}$，其中$ \lambda$足够大。

实验结果

研究问题

• RQ1 当主系数在时间上可测且在空间上具有小平均振荡（BMO$_x$）时，是否能为具有Neumann边界条件的非散度型抛物与椭圆方程建立$L_p$估计？
• RQ2 在Neumann设置下，加权参数$\theta$的最优范围是什么，以保证加权Sobolev空间理论依然有效？
• RQ3 如何将Krylov型平均振荡方法适配至非散度型方程的Neumann问题？
• RQ4 能否将可解性理论扩展至包含空间BMO$_x$正则性与时间可测性的系数，而不仅限于VMO或Dini连续类？
• RQ5 权重$x_1^{\theta-d}$在确保解算子在加权$L_p$范数下的有界性中起什么作用？

主要发现

• 本文证明了对所有足够大的$ \lambda$，有$L_p$估计$\lambda\|u\|_{p,\theta} \leq C_0\|f\|_{p,\theta}$，其中$C_0$仅依赖于$d$、$\delta$、$p$、$\theta$与$R_0$。
• 在加权Sobolev空间$H_{p,\theta}^2$与$\mathbb{H}_{p,\theta}^2$中，Neumann问题的唯一可解性得以确立，且$\theta \in (d-1, d-1+p)$，该范围对热方程而言也是最优的。
• 该方法成功处理了在时间上可测、且在空间上关于加权测度$x_1^{\theta-d}dx$具有小平均振荡的系数，将先前结果推广至Neumann情形。
• 证明依赖于一种新颖的约化方法：在辅助变量中引入周期性截断函数，从而可应用高维$L_p$估计。
• 该结果适用于具有BMO$_x$系数的随机PDEs，为具有不规则系数的SPDEs提供了理论基础。
• 该估计对低阶项扰动具有鲁棒性：只要$b_i$与$c$项的范数有界，且$ \lambda$选择得足够大，估计式仍成立。