[论文解读] Neural Network Methods for Boundary Value Problems Defined in Arbitrarily Shaped Domains

I.E. Lagaris, Aristidis Likas+1 more|ArXiv.org|Dec 3, 1998

Numerical methods in engineering参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文提出一种神经网络方法，用于在具有复杂、任意形状区域的边界值问题（BVPs）中求解，采用多层感知机（MLP）与径向基函数（RBF）网络相结合的混合架构。RBF网络通过从离散边界点近似边界几何形状来强制执行边界条件，而多层感知机则在区域内部求解偏微分方程（PDE）；该方法在二维和三维具有不规则区域的PDE中实现了高精度解。

ABSTRACT

Partial differential equations (PDEs) with Dirichlet boundary conditions defined on boundaries with simple geometry have been succesfuly treated using sigmoidal multilayer perceptrons in previous works. This article deals with the case of complex boundary geometry, where the boundary is determined by a number of points that belong to it and are closely located, so as to offer a reasonable representation. Two networks are employed: a multilayer perceptron and a radial basis function network. The later is used to account for the satisfaction of the boundary conditions. The method has been successfuly tested on two-dimensional and three-dimensional PDEs and has yielded accurate solutions.

研究动机与目标

• 解决在复杂、不规则几何形状区域中具有狄利克雷边界条件的偏微分方程（PDE）的挑战。
• 开发一种基于神经网络的数值方法，可在无需结构化或简单几何网格的情况下处理任意区域形状。
• 确保在由密集边界点定义的区域中，边界条件被精确强制执行。
• 评估所提方法在二维和三维具有复杂边界的PDE中的性能。
• 展示使用混合神经网络（特别是多层感知机和径向基函数网络）求解不规则区域中BVPs的可行性与准确性。

提出的方法

• 使用多层感知机（MLP）来近似区域内部PDE的解。
• 采用径向基函数（RBF）网络通过从一组离散的、紧密排列的边界点建模边界值，来强制执行狄利克雷边界条件。
• 通过边界表面的一组点对边界进行参数化表示，使RBF网络能够插值或近似所需的边界值。
• 通过最小化区域内部PDE的残差和满足边界条件的误差，联合网络使用损失函数进行训练。
• 该方法通过依赖神经网络的通用逼近能力来表示解和边界约束，避免了传统的基于网格的离散化。
• 训练过程使用基于梯度的优化方法最小化总体误差，其中RBF网络确保解符合预设的边界值。

实验结果

研究问题

• RQ1 神经网络框架是否能有效求解具有任意形状边界的区域中的PDE？
• RQ2 结合MLP和RBF网络的混合神经网络架构，在复杂几何形状上能否实现对狄利克雷边界条件的高精度强制执行？
• RQ3 该方法在具有不规则区域边界的二维和三维PDE中的性能如何？
• RQ4 该方法是否能在不依赖结构化或匹配网格的情况下实现高精度？
• RQ5 与神经PDE求解器中其他边界强制策略相比，使用RBF网络表示边界数据有何优势？

主要发现

• 所提方法成功求解了由离散边界点定义的复杂边界几何形状的二维和三维PDE。
• 使用径向基函数网络即使在边界不规则且非光滑的情况下，也能实现狄利克雷边界条件的精确强制执行。
• 多层感知机与RBF网络相结合的混合架构在区域范围内实现了高精度的解近似。
• 该方法在传统有限差分或有限元方法需要复杂网格生成的区域中表现出鲁棒性。
• 通过数值实验验证了解的精度，显示出与预期解析解或参考解一致的收敛性和一致性。
• 该方法具有通用性，可扩展至其他类型的边界条件以及具有类似几何复杂度的PDE。