[论文解读] Neural networks meet anisotropic hyperelasticity: A framework based on generalized structure tensors and isotropic tensor functions

Karl A. Kalina, Jörg Brummund+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2024

Elasticity and Material Modeling被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种物理增强神经网络（PANN）框架，用于利用广义结构张量和各向同性不变量对各向异性超弹性材料进行建模。通过基于变形不变量构建能量模型，并在网络结构和正则化中强制实施物理原理，该方法在数据极少的情况下实现了高精度，优于基于组件的神经网络，在插值和外推方面表现更优，尤其在纤维增强复合材料等复杂微观结构材料中表现突出。

ABSTRACT

We present a data-driven framework for the multiscale modeling of anisotropic finite strain elasticity based on physics-augmented neural networks (PANNs). Our approach allows the efficient simulation of materials with complex underlying microstructures which reveal an overall anisotropic and nonlinear behavior on the macroscale. By using a set of invariants as input, an energy-type output and by adding several correction terms to the overall energy density functional, the model fulfills multiple physical principles by construction. The invariants are formed from the right Cauchy-Green deformation tensor and fully symmetric 2nd, 4th or 6th order structure tensors which enables to describe a wide range of symmetry groups. Besides the network parameters, the structure tensors are simultaneously calibrated during training so that the underlying anisotropy of the material is reproduced most accurately. In addition, sparsity of the model with respect to the number of invariants is enforced by adding a trainable gate layer and using lp regularization. Our approach works for data containing tuples of deformation, stress and material tangent, but also for data consisting only of tuples of deformation and stress, as is the case in real experiments. The developed approach is exemplarily applied to several representative examples, where necessary data for the training of the PANN surrogate model are collected via computational homogenization. We show that the proposed model achieves excellent interpolation and extrapolation behaviors. In addition, the approach is benchmarked against an NN model based on the components of the right Cauchy-Green deformation tensor.

研究动机与目标

• 开发一种数据驱动的框架，用于复杂微观结构材料中各向异性大应变弹性的多尺度建模。
• 通过网络结构设计，确保神经网络模型在构造上满足基本物理原理，如客观性、材料对称性和热力学一致性。
• 通过基于不变量的输入和可训练结构张量，实现仅依赖于应力-变形对的稀疏实验或仿真数据的高效学习。
• 通过可训练门控层结合ℓp正则化（p = 1/4）实现模型稀疏化，减少活跃不变量数量，同时不损失精度。
• 与基于组件的神经网络进行对比基准测试，证明本方法在泛化能力和鲁棒性方面的优越性。

提出的方法

• 该框架利用右柯西-格林张量导出的不变量，以及完全对称的二阶、四阶或六阶结构张量，以编码材料的各向异性特性。
• 神经网络输出应变能密度作为这些不变量的函数，从设计上保证热力学一致性和客观性。
• 采用带有ℓp正则化（p = 1/4）的可训练门控层，通过在训练过程中识别并抑制无关不变量，实现稀疏化。
• 在训练过程中同步校准结构张量，以准确表征材料的内在各向异性。
• 损失函数结合了应力和材料切线预测损失（0.7σ + 0.3c），并包含可调权重的门控正则化项，以平衡稀疏性与精度。
• 模型在代表性体积元（RVEs）的计算均质化数据上进行训练，包括仅含变形-应力对的情况。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于不变量输入和结构张量的物理增强神经网络能否准确捕捉复杂各向异性超弹性行为？
• RQ2 可训练结构张量的引入在多大程度上提升了模型对材料对称性和各向异性的表征能力？
• RQ3 带有ℓp正则化的可训练门控层在多大程度上降低了模型复杂度，同时保持了预测精度？
• RQ4 与基于组件的神经网络相比，基于不变量的PANN在插值和外推性能方面表现如何？
• RQ5 当仅使用稀疏数据（如仅变形和应力元组）进行训练时，该框架是否具备良好的泛化能力？

主要发现

• 对于五个RVE中的四个，基于不变量的PANN仅使用两层各16个神经元的隐藏层，损失即低于1×10⁻⁴；而基于坐标的模型需要三层结构，且损失仍无法收敛至5×10⁻³以下。
• 对于具有立方对称球体的RVE，基于不变量的模型在使用两层或更多隐藏层时，损失低于1×10⁻⁴；而基于坐标的模型在神经元数超过64后未见显著改善。
• 在所有RVE中，采用wgate = 5×10⁻⁵的可训练门控层成功减少了活跃不变量的数量，且未降低预测性能。
• 该模型表现出优异的外推能力，在测试集包含训练分布外的变形状态时仍保持高精度。
• 该框架在准确性和数据效率方面均优于基于组件的网络，尤其在纤维增强复合材料等具有复杂各向异性的材料中表现更优。
• 使用广义结构张量使模型能够以高保真度表征多种对称性群，包括横观各向同性和立方对称性。