[论文解读] Neural Optimal Stopping Boundary

A. Max Reppen, H. Meté Soner+1 more|arXiv (Cornell University)|May 9, 2022

Stochastic processes and financial applications被引用 4

一句话总结

本文提出一种基于深度学习的方法，通过将停止边界参数化为神经网络图，并引入模糊边界松弛以实现可微优化，直接计算美式与百慕达期权的最优停止边界。该方法在高维设置下（包括Black-Scholes、Heston及路径依赖的回望期权）表现出高精度，并在自然假设下为边界的存在性提供了理论依据。

ABSTRACT

A method based on deep artificial neural networks and empirical risk minimization is developed to calculate the boundary separating the stopping and continuation regions in optimal stopping. The algorithm parameterizes the stopping boundary as the graph of a function and introduces relaxed stopping rules based on fuzzy boundaries to facilitate efficient optimization. Several financial instruments, some in high dimensions, are analyzed through this method, demonstrating its effectiveness. The existence of the stopping boundary is also proved under natural structural assumptions.

研究动机与目标

• 直接计算最优停止问题中区分继续区域与停止区域的停止边界，而非通过价值函数间接推断。
• 通过将边界参数化为神经网络函数图，提供可解释的、几何意义明确的最优停止规则表征。
• 通过引入基于概率的模糊边界公式，克服二值停止决策的不可微性，实现基于梯度的优化。
• 在高维美式与百慕达期权（包括路径依赖衍生品）上验证该方法的有效性。
• 在自然结构假设下建立停止边界存在的理论基础，验证方法的理论根基。

提出的方法

• 停止边界被参数化为深度神经网络函数的图，从而实现对边界形状的直接优化。
• 引入模糊边界松弛：靠近边界的态以与距离成比例的概率停止，从而支持基于梯度的优化。
• 奖励函数定义为在松弛停止规则下的期望收益，停止概率通过神经网络边界的有符号距离函数计算。
• 采用经验风险最小化训练网络，奖励函数通过状态轨迹的蒙特卡洛模拟计算。
• 应用重要性采样以提高金融模拟中的样本效率，尤其在高维设置下表现更优。
• 使用Adam优化器，并固定模糊区域宽度ε以稳定训练并确保收敛。

Figure 1 : Stopping region of a max-call option on two symmetric assets. The upper connected component becomes an epigraph through $(\alpha,\Xi)$ .

实验结果

研究问题

• RQ1 深度神经网络能否在高维最优停止问题中有效逼近最优停止边界？
• RQ2 模糊边界松弛是否能实现停止边界的稳定且高效的基于梯度的训练？
• RQ3 该方法在高维复杂金融衍生品（如百慕达最大回溯期权和回望期权）上的表现如何？
• RQ4 在何种条件下停止边界可作为连续函数存在，且其存在性能否获得理论证明？
• RQ5 与基于价值函数的方法相比，该方法能否提供更具可解释性与几何意义的停止规则？

主要发现

• 该方法在Black-Scholes与Heston模型下成功计算出美式看跌期权的最优停止边界，结果具有高精度并附带置信区间。
• 在高维百慕达最大回溯期权上，该方法表现出强劲性能，证实了深度经验风险最小化在高维下的可扩展性。
• 该方法能有效处理路径依赖型期权，回望期权的数值结果已验证其有效性。
• 理论分析证明，在自然假设下停止边界存在，且边界可定义为满足特定结构条件的函数图。
• 模糊边界公式确保了经验奖励随ε → 0收敛至真实期望收益，从而为松弛方法提供理论支持。
• 该算法保持了拓扑一致性：停止区域与继续区域被清晰分离，且即使在近似误差存在时，边界仍能稳健逼近。

(b) Stopping region through $(\alpha,\Xi)$