[论文解读] Neural Ordinary Differential Equations on Manifolds
该论文通过利用向量场和微分几何，将神经普通微分方程（Neural ODEs）推广至光滑流形，实现了非欧几里得空间上的可逆归一化流。主要贡献是提出了一种基于余切提升的伴随敏感性方法，在流形上训练归一化流的一般框架，并在超球面上通过复杂多模态密度进行了验证。
Normalizing flows are a powerful technique for obtaining reparameterizable samples from complex multimodal distributions. Unfortunately current approaches fall short when the underlying space has a non trivial topology, and are only available for the most basic geometries. Recently normalizing flows in Euclidean space based on Neural ODEs show great promise, yet suffer the same limitations. Using ideas from differential geometry and geometric control theory, we describe how neural ODEs can be extended to smooth manifolds. We show how vector fields provide a general framework for parameterizing a flexible class of invertible mapping on these spaces and we illustrate how gradient based learning can be performed. As a result we define a general methodology for building normalizing flows on manifolds.
研究动机与目标
- 解决现有归一化流和神经普通微分方程受限于欧几里得空间、在具有非平凡拓扑的流形上失效的问题。
- 提出一种在光滑流形上使用向量场构建可逆、可重参数化的流的一般方法论。
- 通过将几何控制理论中的伴随敏感性方法推广至余切提升，实现在流形上的梯度基于学习。
- 通过连续归一化流在流形（如超球面）上建模复杂多模态密度的可行性。
提出的方法
- 通过光滑的时间依赖向量场 X: ℝ × M → TM 参数化流形 M 上的微分同胚。
- 将流定义为向量场积分曲线的解，利用存在唯一性定理保证其可逆性和光滑性。
- 通过在余切丛 T*M 上求解原向量场的余切提升所诱导的提升 ODE，将伴随敏感性方法应用于流形上的 ODE。
- 使用变量变换公式计算密度变换，其中对数似然雅可比行列式通过沿轨迹积分向量场的散度获得。
- 利用坐标函数 z_i: M → ℝ 的黎曼梯度生成嵌入流形上的向量场，尤其在等距嵌入中使用正交投影。
- 在 n 维超球面 S^n 上验证该框架，通过 ℝ^{n+1} 中标准基向量的投影构造向量场。
实验结果
研究问题
- RQ1能否将神经普通微分方程推广至具有非平凡拓扑的流形，以实现连续归一化流？
- RQ2如何将伴随敏感性方法扩展至流形上的向量场，以支持端到端反向传播？
- RQ3余切提升在实现流形上流的梯度计算中起到什么作用？
- RQ4如何使用神经网络参数化流形上的向量场，以实现灵活的流建模？
- RQ5所提出的框架能否在非欧几里得空间（如超球面）上建模复杂多模态密度？
主要发现
- 该框架通过使用向量场作为连续流，成功将神经普通微分方程推广至光滑流形，实现了可逆且可微的变换。
- 通过在余切丛 T*M 上求解 ODE，并利用向量场的余切提升作为反向动力学，将伴随方法扩展至流形。
- 对于等距嵌入的流形（如超球面 S^n），可通过 ℝ^{n+1} 中标准基向量的正交投影生成向量场，从而获得一种实用的参数化方法。
- 在 S^n 上，向量场的散度与位置向量的负值成正比，即 Δz = -nz，从而可精确计算对数似然雅可比行列式。
- 该方法可实现对超球面上复杂多模态密度的建模，如附录 A 中的证明概念所示。
- 该框架为流形上的归一化流提供了一种通用且基于几何原理的方法，克服了先前方法仅限于简单拓扑的局限性。
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