[论文解读] Neuro-Symbolic Multitasking: A Unified Framework for Discovering Generalizable Solutions to PDE Families

Yipeng Huang, Dejun Xu+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2026

Model Reduction and Neural Networks被引用 0

一句话总结

本论文提出 NMIPS，这是一种神经辅助的多任务符号回归框架，通过在相关 PDE 间传递学习结构，发现整个 PDE 家族的解析解，在准确性和可解释性上优于基线的黑箱求解器。

ABSTRACT

Solving Partial Differential Equations (PDEs) is fundamental to numerous scientific and engineering disciplines. A common challenge arises from solving the PDE families, which are characterized by sharing an identical mathematical structure but varying in specific parameters. Traditional numerical methods, such as the finite element method, need to independently solve each instance within a PDE family, which incurs massive computational cost. On the other hand, while recent advancements in machine learning PDE solvers offer impressive computational speed and accuracy, their inherent ``black-box" nature presents a considerable limitation. These methods primarily yield numerical approximations, thereby lacking the crucial interpretability provided by analytical expressions, which are essential for deeper scientific insight. To address these limitations, we propose a neuro-assisted multitasking symbolic PDE solver framework for PDE family solving, dubbed NMIPS. In particular, we employ multifactorial optimization to simultaneously discover the analytical solutions of PDEs. To enhance computational efficiency, we devise an affine transfer method by transferring learned mathematical structures among PDEs in a family, avoiding solving each PDE from scratch. Experimental results across multiple cases demonstrate promising improvements over existing baselines, achieving up to a $\sim$35.7% increase in accuracy while providing interpretable analytical solutions.

研究动机与目标

• 通过利用参数化实例之间的共同数学结构，激发高效求解 PDE 家族的需求。
• 提出一个多任务符号回归框架，同时解决一个家族中的多组 PDE。
• 开发一个仿射传递方法，在 PDE 实例之间复用学到的数学结构。
• 提供可解释的解析解，而非黑箱数值近似解。
• 在 PDE 家族基准上展示在准确性和泛化方面的实际改进。

提出的方法

• 在一个统一编码空间内并行解决 K 个 PDE 任务，使用多因素优化。
• 用 Karva 表达式编码的表达式树表示解析解，包括一个主函数和可复用的 ADF 子函数。
• 将 C-ADF 编码扩展到多任务设置，采用基于整数的符号表示和面向任务的解码。
• 通过自动微分对常量进行梯度调优，评估数据拟合（RMSE）和物理一致性（PDE 残差、初始/边界条件）。
• 引入基于仿射变换的知识传递，在两个任务人群之间使用可学习的 MLP 生成缩放和偏移参数。
• 采用两种再现策略（单点交叉带均匀变异，以及基于 DE 的变异和交叉）以保持多样性。

实验结果

研究问题

• RQ1 单一的多任务符号回归框架是否能够发现具有不同参数的整个 PDE 家族的解析解？
• RQ2 如何利用 PDE 实例之间的共享数学结构来加速发现过程并提升泛化？
• RQ3 基于仿射变换的知识传递是否能够在 PDE 任务之间有效传递学习到的结构以提升性能？
• RQ4 在实现高数据拟合的同时，学习到的解析解是否仍然与 PDE 残差、初始和边界条件保持物理一致性？

主要发现

• NMIPS 框架在准确性方面相对于基线有最高约 35.7% 的提升。
• 统一的染色体编码使在一个家族中的多个 PDE 任务可以并行求解，而无需从头解决每个实例。
• 通过学习的缩放和平移参数的仿射传递，在 PDE 实例之间转移共享结构可加速发现过程。
• 通过梯度方法优化表达式中的常量，以最小化数据损失和物理损失的组合。
• 在含噪数据情境下，NMIPS 展现出优于单任务方法的更强泛化能力。