[论文解读] Neutral Stochastic Differential Delay Equations with Locally Monotone Coefficients

Yanting Ji, Qingshuo Song+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2015

Differential Equations and Numerical Methods参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文通过数值欧拉格式逼近，建立了具有局部单调系数的中立型随机微分延迟方程（NSDDEs）解的存在性与唯一性。核心贡献在于将Krylov的局部单调性条件推广至NSDDEs，使得在弱于全局Lipschitz连续性的条件下，仍能保证路径唯一性与强解的存在性。

ABSTRACT

In this paper, we prove the existence and uniqueness of the solution for neutral stochastic differential delay equations with locally monotone coefficients by using numerical approximation. An example is provided to illustrate our theory.

研究动机与目标

• 填补在局部单调性条件下中立型随机微分延迟方程（NSDDEs）理论中的空白。
• 将Krylov对SDEs的存在性与唯一性结果推广至涉及当前状态与延迟状态导数的NSDDEs。
• 在弱于全局Lipschitz条件的假设下，利用数值逼近方法建立强解存在的严格框架。
• 为具有非Lipschitz但局部单调系数的NSDDEs中的数值格式提供理论基础。

提出的方法

• 将Krylov的欧拉格式收敛方法适配至具有时滞的中立型SDEs。
• 对漂移项与扩散项系数施加局部单调性条件：(C2) 用于全局增长，(C3) 用于局部Lipschitz型行为。
• 使用类Lyapunov函数与Gronwall型不等式，控制解在期望下的增长。
• 引入权函数ρ(t)并进行变量变换，以处理中立项X(t) − D(X(t−τ))。
• 利用初始路径ξ(θ)在[−τ, 0]上的有界性及假设(H)的可积性，确保矩稳定性。
• 结合对中立项与状态变量的估计，推导出解的二阶矩的统一先验界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在局部单调性条件而非全局Lipschitz连续性下，建立中立型随机微分延迟方程解的存在性与唯一性？
• RQ2 对于具有局部单调系数的NSDDEs，欧拉格式是否具有强收敛性？
• RQ3 在局部单调性与矩估计的背景下，如何处理涉及延迟状态导数的中立结构？
• RQ4 系数b和σ需满足何种充分条件，才能使解在有限时间范围内保持路径唯一且平方可积？

主要发现

• 在局部单调性与可积性条件(C1)–(C4)下，NSDDE (1.4) 在Itô意义下存在唯一的强解。
• 解满足统一的先验界：sup₀≤t≤T 𝔼|X(t)|²ρ(t) < ∞，其中ρ(t)为正权函数。
• 在所提出的局部单调性框架下，欧拉格式逼近强收敛于真实解。
• 该方法允许非Lipschitz系数，只要其满足局部单调性且在紧集上可积。
• 一个显式例子(4.1)具有三次非线性与依赖延迟的系数，满足所有条件，因此存在唯一解。
• 通过仔细处理中立项X(t) − D(X(t−τ))的变换与矩估计，该证明方法将Krylov与Gyöngy–Sabanis的结果推广至中立情形。