[论文解读] Nevanlinna-Pick Kernels and Localization

Jim Agler, John E. McCarthy|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2016

Holomorphic and Operator Theory参考文献 4被引用 6

一句话总结

本文表征了在 ℂᵈ 的有界区域上定义的再生核希尔伯特空间，其中 Nevanlinna-Pick 插值问题被推广至矩阵值函数和乘子范数的情形。研究证明了此类空间满足核的局部化性质，并证明了 Nevanlinna-Pick 条件成立当且仅当对应的分块矩阵是半正定的，其中关键结果表明：除非核在单位球上与加权移位模型酉等价，否则不存在满足全 H∞ 范数下 Nevanlinna-Pick 条件的此类核。

ABSTRACT

We describe those reproducing kernel Hilbert spaces of holomorphic functions on domains in ${\Bbb C}^d$ for which an analogue of the Nevanlinna-Pick theorem holds, in other words when the existence of a (possibly matrix-valued) function in the unit ball of the multiplier algebra with specified values on a finite set of points is equivalent to the positvity of a related matrix. Our description is in terms of a certain localization property of the kernel.

研究动机与目标

• 将经典的 Nevanlinna-Pick 定理推广至高维空间中的矩阵值函数和乘子范数。
• 确定再生核希尔伯特空间的精确条件，使得插值问题可解当且仅当某个分块矩阵是半正定的。
• 将核的局部化性质确立为多变量情形下 Nevanlinna-Pick 性质的关键判据。
• 证明在 ℂᵈ 的单位球上，除非核酉等价于特定模型空间，否则不存在再生核满足全 H∞ 范数下的 Nevanlinna-Pick 条件。

提出的方法

• 在有界区域 U ⊆ ℂᵈ 上定义一个正则希尔伯特空间，其上的全纯函数满足坐标乘法算子构成有界 d 元组，且具有指定的谱性质。
• 引入 m-插值空间的概念，其中矩阵值数据的插值等价于涉及核与矩阵值的分块矩阵的正定性。
• 利用核的局部化性质，通过半不变子空间与算子理论的结构，表征 Nevanlinna-Pick 条件成立的条件。
• 通过恒等式 ⟨(1/k)(rT)x, x⟩ ≥ 0（其中 r < 1）应用再生核与乘子范数理论，证明压缩算子的正定性。
• 利用 Carathéodory 度量与核对称性，导出一个函数方程，迫使核具有特定分解形式：kₗ(μ) = f(λ)⁻¹ f(μ)⁻¹ (1 − ⟨μ,λ⟩)⁻¹。
• 证明若 Nevanlinna-Pick 条件在 m=1, n=2 时成立，则核必具有形式 kₗ(μ) = |f(λ)|² / k₀(0) ⋅ (1 − ⟨μ,λ⟩)⁻¹，从而揭示特定结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 ℂᵈ 的区域上，矩阵值函数的 Nevanlinna-Pick 插值问题何时等价于某个分块矩阵的正定性？
• RQ2 再生核希尔伯特空间必须具备何种结构性质，才能使 Nevanlinna-Pick 条件在乘子范数语境下成立？
• RQ3 Nevanlinna-Pick 定理能否推广至 ℂᵈ 的单位球上任意再生核的全 H∞ 范数情形？
• RQ4 核的局部化与多变量算子理论中插值问题可解性之间的确切关系为何？

主要发现

• 在有界区域 U ⊆ ℂᵈ 上的再生核希尔伯特空间，对所有 m, n 及数据满足 Nevanlinna-Pick 性质，当且仅当核满足与半不变子空间相关的特定局部化条件。
• 在单位球 B ⊆ ℂᵈ 上，若核不具有形式 kₗ(μ) = f(λ)⁻¹ f(μ)⁻¹ (1 − ⟨μ,λ⟩)⁻¹（其中 f 为非零全纯函数），则不存在满足全 H∞ 范数下 Nevanlinna-Pick 条件的核。
• 若 Nevanlinna-Pick 条件在 m=1 且 n=2 时成立，则核必须满足 kₗ(λ) = |k₀(λ)|² / k₀(0) ⋅ (1 − |λ|²)⁻¹，从而强制核具有特定分解形式。
• φ ∈ H∞ₖ 上的乘子范数条件等价于矩阵 ((1 − φ(λⱼ)φ(λᵢ)*) / (1 − ⟨λⱼ,λᵢ⟩)) 的正定性，当且仅当核酉等价于定理 4.2 中的模型空间。
• 通过构造一个 φ ∈ H∞ₖ 满足 ‖φ‖ₕ∞ₖ > 1 但其对应矩阵仍为正定，从而证明一般核在单位球上 Nevanlinna-Pick 定理不成立。
• 由命题 4.6 推导出的核结构表明，任何此类核必酉等价于移位模型，因此 Nevanlinna-Pick 定理在球上对任意核均不成立。