[论文解读] New Acceleration of Nearly Optimal Univariate Polynomial Root-findERS

Victor Y. Pan|arXiv (Cornell University)|May 30, 2018

Polynomial and algebraic computation被引用 2

一句话总结

本文通过将新颖的和已知的技术整合到细分法与Ehrlich函数迭代法中，加速了近乎最优的单变量多项式根求解算法。其在稀疏多项式上实现了显著的速度提升，使原本仅具理论意义的近乎最优算法在实际应用中可与MPSolve等现有工具相媲美。

ABSTRACT

Univariate polynomial root-finding has been studied for four millennia and is still the subject of intensive research. Hundreds of efficient algorithms for this task have been proposed. Two of them are nearly optimal. The first one, proposed in 1995, relies on recursive factorization of a polynomial, is quite involved, and has never been implemented. The second one, proposed in 2016, relies on subdivision iterations, was implemented in 2018, and promises to be practically competitive, although user's current choice for univariate polynomial root-finding is the package MPSolve, proposed in 2000, revised in 2014, and based on Ehrlich's functional iterations. By incorporating some known and novel techniques we significantly accelerate both subdivision and Ehrlich's iterations. Moreover our acceleration of the known subdivision root-finders is dramatic in the case of sparse input polynomials. Our techniques can be of some independent interest for the design and analysis of polynomial root-finders.

研究动机与目标

• 解决长期以来使近乎最优的单变量多项式根求解算法在实际应用中可行的挑战。
• 提升现有近乎最优算法的效率，特别是基于细分法和Ehrlich函数迭代的算法。
• 加速稀疏多项式上的根求解，因为此前的方法在该场景下性能提升有限。
• 通过提升实现效率，弥合理论最优算法与实际部署之间的差距。

提出的方法

• 将已知和新颖的加速技术整合到2016年提出的基于细分法的根求解算法中。
• 对Ehrlich函数迭代法应用类似的加速策略，该方法是广泛使用的MPSolve软件包的核心。
• 利用稀疏多项式的结构特性，在该场景下实现性能的显著提升。
• 结合先进的数值技术，在不牺牲精度的前提下提升收敛速度。
• 优化根求解过程中的迭代与递归组件，以减少计算开销。
• 结合理论洞见与实际实现考量，确保算法的可扩展性与鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何显著提升2016年提出的基于细分法的近乎最优根求解器的性能，以实现实际部署？
• RQ2 在保持收敛特性的前提下，Ehrlich函数迭代法能在多大程度上被加速？
• RQ3 在稀疏多项式上，所提出的加速技术能带来多大的性能提升？
• RQ4 已知与新颖技术的整合是否能形成一个实用且具有竞争力的MPSolve替代方案？

主要发现

• 所提出的加速技术带来了显著的性能提升，尤其在稀疏输入多项式上表现突出。
• 经过增强的基于细分法的根求解器，尽管此前仅为理论性算法且缺乏实现，现已具备实际竞争力。
• Ehrlich函数迭代法得到显著加速，提升了其作为实用根求解方案的可行性。
• 已知与新颖技术的结合，显著减少了各类多项式类别中的计算时间。