[论文解读] New action for the Hilbert-Einstein equations

Людвиг Дмитриевич Фаддеев|ArXiv.org|Jun 25, 2009

Relativity and Gravitational Theory参考文献 4被引用 12

一句话总结

本文通过将四维时空嵌入十维欧几里得空间，并将一形式推广为完整的协变矢量场，提出了一种新的希爾伯特-愛因斯坦方程的作用量原理。通过引入一个辅助反称张量场 $ B^{\mu\beta,A} $，该形式体系在变分方程中不引入额外导数，从而得到标准爱因斯坦方程，提供了一种保持物理内容但改变数学结构的几何重表述。

ABSTRACT

The Hilbert-Einstein equations are derived in the formalism employing the imbedding of the space-time into linear 10-dimensional space. An extra antisymmetric tensor field is needed for this task.

研究动机与目标

• 通过将时空嵌入十维欧几里得空间，重新表述爱因斯坦引力理论。
• 消除早期方法（如 Redge-Teitelboim）中变分方程里出现的有害额外导数。
• 从包含协变矢量场和 BF 型辅助场的几何作用量出发，推导出希爾伯特-愛因斯坦方程。
• 探索一种新的变分框架，保持广义相对论的物理内容，同时改变其数学表述形式。
• 为与狄拉克和 ADM 方法相容的哈密顿形式化奠定基础，尽管这仍需进一步研究。

提出的方法

• 通过坐标 $ f^A(x^\mu) $ 将四维时空 $ M^4 $ 嵌入十维欧几里得空间 $ \mathbb{R}^{10} $，诱导度规为 $ g_{\mu\nu} = \partial_\mu f^A \partial_\nu f^A $。
• 引入投影算符 $ \Pi^{AB} = \delta^{AB} - g^{\lambda\sigma} f_\lambda^A f_\sigma^B $，以投影到嵌入流形的法向空间。
• 将黎曼曲率张量定义为 $ R_{\mu\nu,\alpha\beta} = \Pi^{AB}(f_{\mu\alpha}^A f_{\nu\beta}^B - f_{\nu\alpha}^A f_{\mu\beta}^B) $，其为 $ f^A $ 的二阶导数的二次型。
• 使用拉格朗日量 $ \mathcal{L} = \sqrt{g} R $，其中 $ g $ 和 $ R $ 以逆变矢量场 $ f^{\mu A} = g^{\mu\nu} f_\nu^A $ 表示。
• 通过 BF 型项 $ \mathcal{L}_1 = B^{\mu\nu,A}(\partial_\mu f_\nu^A - \partial_\nu f_\mu^A) $ 引入一个辅助反称张量场 $ B^{\mu\nu,A} $，以强制 $ f_\mu^A $ 的可积性。
• 通过对总作用量关于 $ f^{\mu A} $ 和 $ B^{\mu\nu,A} $ 变分，导出运动方程，最终得到包含来自 $ B $ 场源项的希爾伯特-愛因斯坦方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不引入变分方程中额外导数的前提下，通过十维嵌入形式体系从几何作用量导出希爾伯特-愛因斯坦方程？
• RQ2 引入辅助反称张量场 $ B^{\mu\nu,A} $ 如何影响运动方程的结构，同时保持广义相对论的物理内容？
• RQ3 投影算符 $ \Pi^{AB} $ 在确保协变性并消除曲率表达式中非物理项方面起什么作用？
• RQ4 基于 $ f^{\mu A} $ 场的变分原理与狄拉克和 ADM 的标准哈密顿形式化相比有何异同？
• RQ5 在施加运动方程后，$ B $-场中剩余自由度的物理意义是什么？

主要发现

• 曲率张量 $ R_{\mu\nu,\alpha\beta} $ 表示为 $ f^A $ 二阶导数的二次型，三阶导数相互抵消，从而确保变分原理的良定义性。
• 对作用量 $ \int \sqrt{g} R \, d^4x $ 的变分产生包含里奇张量 $ R_{\alpha\mu} $ 和数量曲率 $ R $ 的运动方程，同时出现由 $ B $-场引起的附加项 $ T_{\alpha\mu} $。
• 整个方程组约化为希爾伯特-愛因斯坦方程 $ R_{\alpha\mu} - \frac{1}{2} g_{\alpha\mu} R + T_{\alpha\mu} = 0 $，其中 $ T_{\alpha\mu} $ 由 $ B $-场的散度源项产生。
• 投影算符 $ \Pi^{AB} $ 确保由坐标变分引起的非物理项消失，从而保持微分同胚下的协变性。
• 在求解方程后，条件 $ \Pi^{AB} \partial_\mu B^{\mu\nu,B} = 0 $ 依然成立，表明仅 $ \partial_\mu B^{\mu\nu,B} $ 的切向分量是动力学的。
• 该形式体系通过使用 BF 型项强制 $ f_\mu^A $ 的可积性，成功避免了早期嵌入方法（如 Redge-Teitelboim）中的额外导数问题。