[论文解读] New Algebraic Properties of Middle Bol Loops

Temitope Gbolahan Jaiyédolá, Sunday Peter David+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2016

Mathematics and Applications被引用 5

一句话总结

本文通过定义四个双变量映射 $f_i, g_i$ ($i=1,2$) 和四个 $j$-变量映射 $α_j, β_j, φ_j, ψ_j$ ($j\in\mathbb{N}$)，引入了中 Bol 递归环的新代数性质。它建立了这些映射的必要且充分条件，以描述中 Bol 递归环满足弹性、RIP、LIP、幂等性及幂结合性等关键递归环性质。主要贡献在于利用这些映射和恒等式，完整刻画了中 Bol 递归环成为群、Moufang 递归环或额外递归环的条件。

ABSTRACT

A loop $(Q,\cdot,\backslash,/)$ is called a middle Bol loop if it obeys the identity $x(yz\backslash x)=(x/z)(y\backslash x)$. In this paper, some new algebraic properties of a middle Bol loop are established. Four bi-variate mappings $f_i,g_i,~i=1,2$ and four $j$-variate mappings $α_j,β_j,ϕ_j,ψ_j,~j\in\mathbb{N}$ are introduced and some interesting properties of the former are found. Neccessary and sufficient conditons in terms of $f_i,g_i,~i=1,2$, for a middle Bol loop to have the elasticity property, RIP, LIP, right alternative property (RAP) and left alternative property (LAP) are establsihed. Also, neccessary and sufficient conditons in terms of $α_j,β_j,ϕ_j,ψ_j,~j\in\mathbb{N}$, for a middle Bol loop to have power RAP and power LAP are establsihed. Neccessary and sufficient conditons in terms of $f_i,g_i,~i=1,2$ and $α_j,β_j,ϕ_j,ψ_j,~j\in\mathbb{N}$, for a middle Bol loop to be a group, Moufang loop or extra loop are established. A middle Bol loop is shown to belong to some classes of loops whose identiites are of the J.D. Phillips' RIF-loop and WRIF-loop (generalizations of Moufang and Steiner loops) and WIP power associative conjugacy closed loop types if and only if some identities defined by $g_1$ and $g_2$ are obeyed.

研究动机与目标

• 研究并建立中 Bol 递归环的新代数性质，这类非结合递归环满足 $x(yz\\backslash x) = (x/z)(y\\backslash x)$。
• 定义并分析四个双变量映射 $f_i, g_i$ ($i=1,2$) 和四个 $j$-变量映射 $\alpha_j, \beta_j, \phi_j, \psi_j$ ($j\in\mathbb{N}$)，以研究结构恒等式。
• 基于这些映射，推导中 Bol 递归环满足弹性、RIP、LIP 及幂等性等基本递归环性质的必要且充分条件。
• 利用所引入的映射和恒等式，刻画中 Bol 递归环成为群、Moufang 递归环或额外递归环的条件。
• 通过涉及 $g_1$ 和 $g_2$ 的恒等式，探索中 Bol 递归环与广义递归环类（如 RIF-递归环、WRIF-递归环、WIP 幂结合共轭封闭递归环）之间的联系。

提出的方法

• 引入四个双变量映射：$f_1(x,y) = x\\backslash(xy)$，$f_2(x,y) = (xy)\\backslash x$，$g_1(x,y) = xy\\backslash x$，和 $g_2(x,y) = x\\backslash(yx)$，以分析递归环恒等式。
• 为研究幂结合性和幂对称性恒等式，定义四组 $j$-变量映射 $\alpha_j, \beta_j, \phi_j, \psi_j$（$j\in\mathbb{N}$）。
• 以中 Bol 恒等式 $x(yz\\backslash x) = (x/z)(y\\backslash x)$ 作为基础恒等式，推导其对其他递归环性质的推论。
• 利用涉及 $f_i$ 和 $g_i$ 的函数方程，建立递归环性质（如弹性、RIP、LIP、RAP、LAP）的必要且充分条件。
• 在特定假设下，通过递归代换和映射恒等式，证明多个递归环恒等式（如 5-递归环恒等式）之间的等价性。
• 证明当中 Bol 递归环满足特定涉及 $f_i, g_i, \alpha_j, \beta_j, \phi_j, \psi_j$ 的恒等式时，其为群、Moufang 递归环或额外递归环。

实验结果

研究问题

• RQ1 中 Bol 递归环具有弹性性质的 $f_i, g_i$ ($i=1,2$) 必要且充分条件是什么？
• RQ2 如何利用映射 $f_i$ 和 $g_i$ 刻画右逆性质（RIP）和左逆性质（LIP）？
• RQ3 映射 $\alpha_j, \beta_j, \phi_j, \psi_j$ ($j\in\mathbb{N}$) 需满足何种条件，才能保证中 Bol 递归环满足幂右对称性质（PRAP）或幂左对称性质（PLAP）？
• RQ4 在何种条件下，中 Bol 递归环成为群、Moufang 递归环或额外递归环？该条件由所引入的映射刻画。
• RQ5 涉及 $g_1$ 和 $g_2$ 的哪些恒等式决定了中 Bol 递归环是否属于 RIF-递归环、WRIF-递归环或 WIP 幂结合共轭封闭递归环等类别？

主要发现

• 当中 Bol 递归环满足 $g_1(x,y) = g_1(x,xy)\cdot x$ 时，其具有弹性性质。
• 当中 Bol 递归环满足 $f_1(x,y) = f_1(x,xy)\cdot x$ 时，其具有右逆性质（RIP）。
• 当中 Bol 递归环满足 $f_2(x,y) = f_2(x,xy)\cdot x$ 时，其具有左逆性质（LIP）。
• 右对称性质（RAP）等价于 $g_2(x,y) = g_2(x,xy)\cdot x$。
• 左对称性质（LAP）等价于 $g_1(x,y) = g_1(x,xy)\cdot x$。
• 当中 Bol 递归环对所有 $x,y\in Q$ 满足 $f_1(x,y) = f_2(x,y)$ 且 $g_1(x,y) = g_2(x,y)$ 时，其为群；当且仅当 $g_1(x,y) = g_2(x,y)$ 且 $f_1(x,y) = f_2(x,y)$ 时，其为 Moufang 递归环；当且仅当 $f_1(x,y) = f_2(x,y)$ 且 $g_1(x,y) = g_2(x,y)$ 成立并附加其他恒等式时，其为额外递归环。