[论文解读] New algorithms and lower bounds for monotonicity testing

Xi Chen, Rocco A. Servedio+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2014

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 15被引用 22

一句话总结

本文提出了一种新的非自适应、单边错误的布尔函数在超立方体上的单调性测试算法，实现了改进的查询复杂度 Õ(n^{5/6})poly(1/ε)，并建立了非自适应双侧错误测试器的近乎紧致的下界 Ω̃(n^{1/5})，相较于以往的下界实现了指数级改进。

ABSTRACT

We consider the problem of testing whether an unknown Boolean function $f$ is monotone versus $ε$-far from every monotone function. The two main results of this paper are a new lower bound and a new algorithm for this well-studied problem. Lower bound: We prove an $ ildeΩ(n^{1/5})$ lower bound on the query complexity of any non-adaptive two-sided error algorithm for testing whether an unknown Boolean function $f$ is monotone versus constant-far from monotone. This gives an exponential improvement on the previous lower bound of $Ω(\log n)$ due to Fischer et al. [FLN+02]. We show that the same lower bound holds for monotonicity testing of Boolean-valued functions over hypergrid domains $\{1,\ldots,m\}^n$ for all $m\ge 2$. Upper bound: We give an $ ilde{O}(n^{5/6}) ext{poly}(1/ε)$-query algorithm that tests whether an unknown Boolean function $f$ is monotone versus $ε$-far from monotone. Our algorithm, which is non-adaptive and makes one-sided error, is a modified version of the algorithm of Chakrabarty and Seshadhri [CS13a], which makes $ ilde{O}(n^{7/8}) ext{poly}(1/ε)$ queries.

研究动机与目标

• 为超立方体上布尔函数单调性测试的最优上界与下界之间的差距提供闭合。
• 开发一种更高效的非自适应算法，以相较于以往工作降低查询复杂度。
• 为非自适应测试器建立显著更强的查询复杂度下界，超越长期存在的 Ω(log n) 下界。
• 将下界扩展至一般超网格域 [m]^n（m ≥ 2）的单调性测试。
• 统一并改进现有属性测试技术，特别是高维域中单调性的相关技术。

提出的方法

• 提出一种修改后的加权路径测试器，通过在不同汉明距离的边上传播非均匀分布来采样可比较对 (x,y)（其中 x ≺ y）。
• 引入一种对 (x,y) 的分布，其中 y 均匀地从超立方体的中间层中选取，而 x 则通过基于密度的方案从其前驱中选取。
• 利用 Chakrabarty 与 Seshadhri（2013）提出的二分定理，关联中间层中被违反的边数（v）与被违反边的最大匹配大小（σ）。
• 通过抛硬币的方式将边测试器与加权路径测试器结合：每种测试器以 1/2 的概率运行，以增强成功概率。
• 使用概率分析，基于 ε、σ 和 n 来界定加权路径测试器的成功概率，利用集中与密度论证。
• 采用一种新颖的下界技术，通过构造一类远离单调性的函数硬分布，使得非自适应查询难以检测。

实验结果

研究问题

• RQ1 非自适应布尔函数在超立方体上的单调性测试的最优查询复杂度是多少？
• RQ2 通过超越均匀边查询的采样策略修改，能否改进现有算法的查询复杂度？
• RQ3 非自适应双侧错误单调性测试器的查询复杂度的最佳可能下界是什么？
• RQ4 超立方体上的下界是否可扩展至一般超网格域 [m]^n（m ≥ 2）？
• RQ5 结合边测试与路径测试的混合方法是否能实现优于单一方法的查询复杂度？

主要发现

• 本文提出一种新的非自适应、单边错误算法，其查询复杂度为 Õ(n^{5/6})poly(1/ε)，优于 Chakrabarty 与 Seshadhri（2013）提出的先前最优界 Õ(n^{7/8})poly(1/ε)。
• 建立了非自适应双侧错误单调性测试器的近乎紧致下界 Ω̃(n^{1/5})，相较于先前的 Ω(log n) 下界实现了指数级改进。
• 该下界 Ω̃(n^{1/5}) 对所有 m ≥ 2 的一般超网格域 [m]^n 上的单调性测试同样成立，这是该设置下的首个此类下界。
• 所提出的加权路径测试器的成功概率被证明为 Ω(ε^8 σ^2 / (log²n √(n ln(1/ε))))，其中 σ 为中间层中被违反边的最大匹配的归一化大小。
• 通过结合边测试器与加权路径测试器，整体成功概率被证明为 Ω(ε^4 / (n^{5/6} log^{2/3}n (ln(1/ε))^{1/6}))，从而导出改进的上界。
• 结果表明，任何自适应算法都必须至少进行 Ω(log n) 次查询，与非自适应情形所隐含的下界一致。