[论文解读] New analysis of Galerkin-mixed FEMs for incompressible miscible flow in porous media

Weiwei Sun, Chengda Wu|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 37被引用 5

一句话总结

本文针对多孔介质中的不可压缩混相流，提出了一种新型无条件最优误差分析方法，适用于伽辽金-混合有限元法（FEM）。通过引入一种新颖的拟投影技术，首次在无需时间与网格条件限制的情况下，实现了最低阶方法下浓度的二阶 $L^2$-范数精度——此前仅在严格的时间与网格条件下已知为一阶精度。

ABSTRACT

Analysis of Galerkin-mixed FEMs for incompressible miscible flow in porous media has been investigated extensively in the last several decades. Of particular interest in practical applications is the lowest-order Galerkin-mixed method, { in which a linear Lagrange FE approximation is used for the concentration and the lowest-order Raviart-Thomas FE approximation is used for the velocity/pressure. The previous works only showed the first-order accuracy of the method in $L^2$-norm in spatial direction,} which however is not optimal and valid only under certain extra restrictions on both time step and spatial mesh. In this paper, we provide new and optimal $L^2$-norm error estimates of Galerkin-mixed FEMs for all three components in a general case. In particular, for the lowest-order Galerkin-mixed FEM, we show unconditionally the second-order { accuracy in $L^2$-norm} for the concentration. Numerical results for both two and three-dimensional models are presented to confirm our theoretical analysis. More important is that our approach can be extended to the analysis of mixed FEMs for many strongly coupled systems to obtain optimal error estimates for all components.

研究动机与目标

• 解决现有分析中长期存在的局限性：即在最低阶伽辽金-混合FEM中，浓度仅能获得一阶精度。
• 消除以往误差估计有效性所受的时间步长与空间网格尺寸的严格限制。
• 为强耦合非线性抛物系统中所有分量（浓度、速度、压力）的最优误差界推导提供新的理论框架。
• 在 $L^2$-范数下建立浓度的无条件最优收敛速率，尤其针对广泛使用的最低阶方法。
• 将分析扩展至高阶逼近与三维问题，验证其鲁棒性与普适性。

提出的方法

• 提出一种新颖的拟投影技术，将浓度误差分析与速度场和压力场的误差分析解耦。
• 采用伽辽金-混合FEM，使用线性拉格朗日元（$V_h^1$）逼近浓度，最低阶雷维特-托马斯元（$Σ_h^0$）逼近速度与压力。
• 时间方向采用半隐式欧拉格式，并在 $L^2$-范数下推导浓度 $c$、速度 $¹u$ 与压力 $p$ 的误差估计。
• 建立误差界形式为 $\|c^n - \mathcal{C}_h^n\|_{L^2} \leq C(h^{r+1} + \tau)$，表明当 $r=1$（最低阶情形）时，达到最优的 $O(h^2)$ 收敛率。
• 证明此前所需的网格尺寸条件 $h_c^{-1}h_p^{k+1} = o(1)$ 与时间步长限制 $\tau = o(h)$ 已不再必要。
• 通过二维与三维区域中光滑与不连续系数的数值实验，验证了理论结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在无需时间步长或网格尺寸限制的条件下，为伽辽金-混合FEM的所有分量建立最优的 $L^2$-范数误差估计？
• RQ2 在最低阶伽辽金-混合FEM中，浓度的二阶收敛是否可实现无条件？
• RQ3 所提出的拟投影技术能否推广至其他强耦合非线性抛物系统？
• RQ4 当速度与压力以低阶元近似时，浓度的精度是否仍保持最优？
• RQ5 在具有光滑与不连续介质的二维与三维设置下，理论误差界与数值结果的对比如何？

主要发现

• 本文在无需时间步长或网格尺寸限制的条件下，为所有三个分量——浓度、速度与压力——建立了无条件最优的 $L^2$-范数误差估计。
• 对于最低阶伽辽金-混合FEM（$r=1, k=0$），浓度在空间上达到二阶精度，即 $O(h^2)$，此为最优结果，且此前在一般条件下尚未得到证明。
• 二维与三维的数值结果验证了理论收敛速率：浓度为二阶（$h^2$），速度与压力为一阶（$h$），二维中观测到的收敛阶数为2.01与1.99，三维中为2.01。
• 此前研究中必需的网格尺寸条件 $h_c^{-1}h_p^{k+1} = o(1)$ 与时间步长限制 $\tau = o(h)$ 已不再必要。
• 所提出的拟投影方法可实现耦合系统的最优误差分析，并可推广至其他非线性、强耦合的PDE系统。
• 即使速度与压力以 $O(h)$ 精度近似，浓度误差仍保持 $O(h^2)$，表明该方法在实际应用中的鲁棒性。