[论文解读] New and Simplified Distributed Algorithms for Weighted All Pairs Shortest Paths

Udit Agarwal, Vijaya Ramachandran|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 14被引用 4

一句话总结

本论文在 Congest 模型下提出了计算带权图中所有点对最短路径（APSP）和 k-源最短路径的新确定性与随机化分布式算法。通过增强一种流水线算法，改进阻塞集计算并利用权重变换，实现了更快的亚-$$n^{3/2}$$-轮复杂度边界：对于边权不超过 $$\lambda$$ 的 APSP，复杂度为 $$\tilde{O}(\lambda^{1/4}n^{5/4})$$；对于最短路径距离 Δ 有界的场景，复杂度为 $$\tilde{O}(n(\Delta \log^2 n)^{1/3})$$，同时支持零权边处理和 $$(1+\epsilon)$$-近似，复杂度为 $$\tilde{O}(n/\epsilon^2)$$ 轮。

ABSTRACT

We consider the problem of computing all pairs shortest paths (APSP) and shortest paths for k sources in a weighted graph in the distributed CONGEST model. For graphs with non-negative integer edge weights (including zero weights) we build on a recent pipelined algorithm to obtain $ ilde{O}(λ^{1/4}\cdot n^{5/4})$ in graphs with non-negative integer edge-weight at most $λ$, and $ ilde{O}(n \cdot \bigtriangleup^{1/3})$ rounds for shortest path distances at most $\bigtriangleup$. Additionally, we simplify some of the procedures in the earlier APSP algorithms for non-negative edge weights in [HNS17,ARKP18]. We also present results for computing h-hop shortest paths and shortest paths from $k$ given sources. In other results, we present a randomized exact APSP algorithm for graphs with arbitrary edge weights that runs in $ ilde{O}(n^{4/3})$ rounds w.h.p. in n, which improves the previous best $ ilde{O}(n^{3/2})$ bound, which is deterministic. We also present an $ ilde{O}(n/ε^2)$-round deterministic $(1+ε)$ approximation algorithm for graphs with non-negative $poly(n)$ integer weights (including zero edge-weights), improving results in [Nanongkai14,LP15] that hold only for positive integer weights.

研究动机与目标

• 设计适用于非负整数边权（包括零权边）图的更快确定性分布式 APSP 与 k-源最短路径算法。
• 简化并改进 Congest 模型中先前的随机化与确定性 APSP 算法，特别是处理零权边的算法。
• 在中等边权与最短路径距离约束下，获得 APSP 的更优轮复杂度边界。
• 提出一种支持零权边的确定性 $$(1+\epsilon)$$-近似 APSP 算法，其轮复杂度与正权边的最优已知结果一致。
• 通过更高效的流水线 SSSP 计算，简化现有随机化 APSP 算法中的关键组件，如短程与短程扩展过程，以提升效率与清晰度。

提出的方法

• 利用近期针对有界最短路径距离的 $$(h,k)$$-SSP 问题的流水线算法，推导出改进的 APSP 与 k-SSP 复杂度边界。
• 提出一种优化的确定性阻塞集计算算法，以提升 APSP 流水线的效率。
• 应用一种权重变换策略：将零权边设为 1，非零权边乘以 $$n^2$$，从而可复用正权近似算法。
• 在随机化算法中，对两步均使用 $$h$$ 轮 Bellman-Ford，并采用大小为 $$\tilde{O}(\sqrt{n})$$ 的随机中心集，以减少通信开销。
• 结合流水线最短路径传播与从中心到源点的距离估计高效广播，以计算近似距离。
• 采用两阶段方法：首先在 $$O(n)$$ 轮内计算通过零权路径的可达性，然后在变换图中近似计算非零权路径。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在非负整数边权（包括零权）图中实现亚-$$n^{3/2}$$-轮的确定性 APSP？
• RQ2 如何简化并优化 Huang 等人 [8] 的随机化 APSP 算法，以获得更优的轮复杂度与更清晰的结构？
• RQ3 能否将正权边的 $$(1+\epsilon)$$-近似 APSP 算法扩展至含零权边的图，同时保持最优轮复杂度？
• RQ4 在确定性分布式 APSP 计算中，边权大小、最短路径距离与轮复杂度之间存在何种最优权衡？
• RQ5 如何优化阻塞集计算，以提升流水线最短路径算法的性能？

主要发现

• 论文在边权不超过 $$\lambda$$ 的图中实现了确定性 APSP 的复杂度为 $$O(\lambda^{1/4} \cdot n^{5/4} \log^{1/2}n)$$ 轮，优于先前的 $$\tilde{O}(n^{3/2})$$ 边界。
• 对于最短路径距离不超过 $$\Delta$$ 的图，APSP 算法的运行时间为 $$O(n(\Delta \log^2 n)^{1/3})$$ 轮，显著优于先前的确定性边界。
• 提出了一种随机化精确 APSP 算法，轮复杂度为 $$\tilde{O}(n^{4/3})$$（高概率），优于先前最好的确定性边界 $$\tilde{O}(n^{3/2})$$。
• 提出了一种针对非负整数边权（包括零权）的确定性 $$(1+\epsilon)$$-近似 APSP 算法，其轮复杂度为 $$\tilde{O}(n/\epsilon^2)$$，与正权边的最优已知边界一致。
• 论文通过更高效的流水线 SSSP 计算，简化了 Huang 等人 [8] 随机化 APSP 算法中的关键组件，特别是短程与短程扩展部分。
• 开发了一种改进的阻塞集计算算法，显著提升了整体流水线 APSP 框架的效率，并实现了更优的轮复杂度边界。