[论文解读] New approach to Schensted-Knuth normal forms

Yuqun Chen, Jing Li|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2011

Advanced Topics in Algebra被引用 2

一句话总结

本文提出了一种基于行生成元和列生成元的任意字母表上阶的代数框架，建立了在字母表有限时列生成元情形下的有限格罗布纳–希罗什基基。通过应用组合-钻石引理，证明了杨表构成线性基，从而为克努特关于杨表是阶幺半群中正规形式的结论提供了新颖的代数证明。

ABSTRACT

We present the plactic algebra on an arbitrary alphabet set $A$ by row generators and column generators respectively. We give Grobner-Shirshov bases for such presentations. In the case of column generators, a finite Grobner-Shirshov basis is given if $A$ is finite. From the Composition-Diamond lemma for associative algebras, it follows that the set of Young tableaux is a linear basis of plactic algebra. As the result, it gives a new proof that Young tableaux are normal forms of elements of plactic monoid. This result was proved by D.E. Knuth \cite{Knuth} in 1970, see also Chapter 5 in \cite{M.L}.

研究动机与目标

• 开发一种使用行和列生成元的阶代数的新表述。
• 为使用列生成元的阶代数建立格罗布纳–希罗什基基。
• 为杨表构成阶代数的线性基这一事实提供另一种代数证明。
• 证明该基对应于阶幺半群的正规形式，正如克努特最初所展示的那样。

提出的方法

• 在任意字母表 A 上，使用行生成元和列生成元来表述阶代数。
• 为使用列生成元的代数表述构造格罗布纳–希罗什基基。
• 应用结合-钻石引理分析代数的结构。
• 证明所有杨表的集合构成阶代数的线性基。
• 利用字母表的有限性，确保在使用列生成元时格罗布纳–希罗什基基是有限的。
• 利用从结合-钻石引理导出的正规形式性质，得出该基由杨表构成。

实验结果

研究问题

• RQ1 阶代数能否通过行和列生成元被有效表述？
• RQ2 当字母表有限且使用列生成元时，阶代数是否存在有限的格罗布纳–希罗什基基？
• RQ3 如何应用结合-钻石引理推导阶代数的线性基？
• RQ4 通过这种新代数方法，杨表的集合是否构成阶代数的线性基？
• RQ5 该方法能否为阶幺半群中杨表的正规形式性质提供新证明？

主要发现

• 阶代数可在任意字母表 A 上通过行和列生成元进行表述。
• 当字母表 A 有限时，使用列生成元表述的阶代数存在有限的格罗布纳–希罗什基基。
• 结合-钻石引理表明，杨表的集合构成阶代数的线性基。
• 这为杨表是阶幺半群中元素的正规形式提供了新的代数证明。
• 该结果在非交换格罗布纳–希罗什基基理论的更结构化的代数框架下，确认了克努特最初的发现。