[论文解读] New arcs in projective Hjelmslev planes over Galois rings

Kiermaier, Michael, Axel Kohnert|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 15被引用 12

一句话总结

本文通过在阶数不超过27的适当高斯环上的射影赫尔姆斯莱夫平面上进行计算搜索，寻找极大弧，利用指定的自同构群来缩小相关丢番图系统的规模。该方法使得构造新型非线性四元码成为可能，其中包括一个 $[504,6,376]$ 码，其最小距离高于任何已知的 $\mathbb{F}_4$-线性码在相同参数下的表现，显著改进了弧大小的下界。

ABSTRACT

It is known that some good linear codes over a finite ring (R-linear codes) arise from interesting point constellations in certain projective geometries. For example, the expurgated Nordstrom-Robinson code, a nonlinear binary [14,6,6]-code which has higher minimum distance than any linear binary [14,6]-code, can be constructed from a maximal 2-arc in the projective Hjelmslev plane over Z_4.

研究动机与目标

• 改进阶数 $\leq 27$ 的适当高斯环上射影赫尔姆斯莱夫平面上极大弧大小的下界。
• 通过这些平面上的弧的格雷像构造新型非线性码，特别是针对 $\mathbb{G}_{16}$ 和 $\mathbb{Z}_{25}$。
• 开发并应用一种基于群作用与格点枚举的计算方法，使此类弧的搜索成为可行。
• 探索是否存在非线性码，其最小距离高于任何已知的 $\mathbb{F}_4$ 上的线性码。
• 通过对称性约化与丢番图方程求解，系统性地构造射影 $(n,u)$-弧与多弧。

提出的方法

• 作者使用高斯环 $R$ 上的射影赫尔姆斯莱夫平面 $\mathrm{PHG}(2,R)$ 的关联矩阵，将弧问题建模为一组 $0/1$-取值的线性丢番图不等式系统。
• 他们指定了 $\mathrm{GL}(3,R)$ 中的一组自同构群，通过合并同一轨道中的点与线来缩小关联矩阵的规模，从而将系统缩减至计算上可处理的规模。
• 利用基于LLL算法的格点枚举方法求解约化后的丢番图方程组，以寻找对应于射影弧的 $0/1$-解。
• 对于部分弧，应用扩展算法检查是否可通过添加一个点而不违反 $u$-共线性条件来形成更大的弧。
• 对构造出的弧应用格雷同构，得到 $\mathbb{F}_4$ 上的非线性码，并通过格里泽曼界验证其最小距离。
• 该方法应用于高斯环 $\mathbb{Z}_{8}, \mathbb{Z}_{9}, \mathbb{G}_{16}, \mathbb{Z}_{16}, \mathbb{Z}_{25}, \mathbb{Z}_{27}$，点集与线集的规模最大达1053。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于阶数 $\leq 27$ 的适当高斯环 $R$，射影 $(n,u)$-弧在 $\mathrm{PHG}(2,R)$ 中的最大大小是多少？
• RQ2 通过保持自同构对称性来构造弧，是否能降低在赫尔姆斯莱夫几何中寻找极大弧的计算复杂度？
• RQ3 所构造弧的格雷像是否会产生最小距离优于已知 $\mathbb{F}_4$ 上线性码的非线性码？
• RQ4 $\mathrm{PHG}(2,\mathbb{Z}_{25})$ 中最大的已知 $(n,u)$-弧是什么？其大小是否超过任何已知射影弧的大小？
• RQ5 通过轨道融合构造的多弧是否能超过同一几何中最佳已知射影弧的大小？

主要发现

• 作者通过 $\mathrm{PHG}(2,\mathbb{Z}_{25})$ 中一个射影 $(256,16)$-弧的格雷像，构造了一个新的非线性四元 $[504,6,376]$-码，其最小距离高于任何已知的 $\mathbb{F}_4$-线性 $[504,6]$-码。
• $[504,6,376]$ 码具有距离不变性，且不可能是线性的，因为其存在将意味着存在一个 $\mathbb{F}_4$ 上的线性 $[128,5,94]$-码，而该码尚未被证实存在。
• 在 $\mathrm{PHG}(2,\mathbb{Z}_{25})$ 中，构造出一个155个点的 $(155,8)$-多弧，比目前已知的最佳射影弧多7个点。
• 本文改进了所有 $u$-弧在 $\mathrm{PHG}(2,R)$ 中的极大弧大小下界，其中 $R$ 为 $\mathbb{Z}_8, \mathbb{Z}_9, \mathbb{G}_{16}, \mathbb{Z}_{16}, \mathbb{Z}_{25}, \mathbb{Z}_{27}$，大多数条目以星号标记为改进。
• 作者在 $\mathrm{PHG}(2,\mathbb{Z}_{25})$ 中发现了一个288个点的 $(288,12)$-弧，这是该几何中 $u=12$ 的最大已知射影弧。
• 在 $\mathrm{PHG}(2,\mathbb{Z}_{27})$ 中，构造出一个 $\mathbf{1053}$-点的 $(1053,36)$-弧，达到理论上的上界，因此为极大弧。