[论文解读] New artificial-free phase 1 simplex method

Nasiruddin Khan, Syed Inayatullah+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2013

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文提出了一种无需人工变量的单纯形法第一阶段，通过允许负变量进入基，消除了对人工变量和约束的需求，同时保持与传统方法相同的顶点序列。该方法避免了停滞现象，减少了退化单纯形迭代，提高了线性规划问题求解的效率，且无需引入辅助变量。

ABSTRACT

This paper presents new and easy to use versions of primal and dual phase 1 processes which obviate the role of artificial variables and constraints by allowing negative variables into the basis. During the process new method visits the same sequence of corner points as the traditional phase 1 does. The new method is artificial free so, it also avoids stalling and saves degenerate pivots in many cases of linear programming problems.

研究动机与目标

• 消除单纯形法第一阶段中人工变量和约束的使用。
• 开发一种更简单、更直观的原始与对偶第一阶段过程。
• 避免停滞现象，并减少线性规划问题中的退化单纯形迭代。
• 在保持与传统第一阶段相同顶点序列的同时，改善计算行为。
• 为单纯形算法的标准第一阶段提供一种更高效、更实用的替代方案。

提出的方法

• 该方法允许在第一阶段中让负变量进入基，从而绕过对人工变量的需求。
• 采用一种修改后的定价规则，即使进入变量为负也能保持可行性。
• 该算法沿与传统第一阶段相同的顶点路径进行，确保正确性。
• 对偶第一阶段过程被调整，以在无需人工约束的情况下检测不可行性。
• 该方法利用标准单纯形法的枢轴规则，但修改了基进入条件，以允许负变量进入。
• 通过谨慎选择进入和离开变量，确保在整个过程中保持对偶或原始可行性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不使用人工变量或约束的情况下执行单纯形法的第一阶段？
• RQ2 如何将负变量整合到基中以消除人工变量？
• RQ3 新方法是否保持与传统第一阶段相同的顶点序列？
• RQ4 该方法在实践中是否能减少停滞和退化单纯形迭代？
• RQ5 所提出的方法是否比现有第一阶段方法更简单且更高效？

主要发现

• 所提出的方法成功消除了人工变量和约束，实现了无人工变量的第一阶段过程。
• 该算法访问的顶点序列与传统第一阶段完全相同，确保了正确性和一致性。
• 通过允许负变量进入基，该方法在许多情况下避免了停滞现象，并减少了退化单纯形迭代的次数。
• 该方法在整个第一阶段过程中保持原始或对偶可行性，且无需辅助约束。
• 与使用人工变量的标准第一阶段相比，该方法更易于实现和应用。
• 计算行为得到改善，尤其在易发生退化或循环的问题中表现更优。