[论文解读] New Binomial Bent Function over the Finite Fields of Odd Characteristic

Tor Helleseth, Alexander Kholosha|ArXiv.org|Jul 20, 2009

Coding theory and cryptography参考文献 5被引用 5

一句话总结

本文提出了一类新的在奇特征有限域上的二项式弯函数，具体为在 GF(p⁴ᵏ) 上的 f(x) = Tr₄ₖ(x^{p³ᵏ + p²ᵏ − pᵏ + 1} + x²)，证明其为弱正则弯函数，并推导出其沃尔什变换系数的精确闭式表达式。证明依赖于有限域上指数和技巧及迹函数的性质，建立了一个具有显式谱表征的新弯函数族。

ABSTRACT

The $p$-ary function $f(x)$ mapping $\mathrm{GF}(p^{4k})$ to $\mathrm{GF}(p)$ given by $f(x)={ m Tr}_{4k}\big(x^{p^{3k}+p^{2k}-p^k+1}+x^2\big)$ is proven to be a weakly regular bent function and the exact values of its Walsh transform coefficients are found. The proof is based on a few new results in the area of exponential sums and polynomials over finite fields that may also be interesting as independent problems.

研究动机与目标

• 在奇特征有限域上构造并表征一类新的 p-元弯函数家族。
• 证明函数 f(x) = Tr₄ₖ(x^{p³ᵏ + p²ᵏ − pᵏ + 1} + x²) 在 n = 4k 时为弱正则弯函数。
• 计算该函数沃尔什变换系数的精确值。
• 建立支持主证明的新指数和与多项式迹恒等式结果，适用于有限域。

提出的方法

• 证明使用 GF(pⁿ) 上的迹函数与指数和，特别是分析形如 C(a) = Σₓ ω^{Trₙ(x + a x^{(p²ᵏ+1)/2})} 的和。
• 应用二次特征与分圆等价的性质，将沃尔什变换与子域上的和关联起来。
• 通过本原元代换技术，并利用 p²ᵏ + 1 到 GF(p²ᵏ) 的一一对应关系进行映射。
• 利用 [3, 推论 3] 的指数和结果，并引入辅助函数 T₊(b², x) 与 T₋(b², x) 以分析根的分布。
• 推导过程使用迹恒等式与对称性论证，尤其在变换 u → −u 下，以分离沃尔什系数结构。
• 证明沃尔什系数 Sf(b) = −p²ᵏ ω^{Trₖ(x₀)/4}，其中 x₀ 是 GF(pᵏ) 中特定迹方程的唯一解。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在奇特征有限域上构造一类新的二项式弯函数？
• RQ2 函数 f(x) = Tr₄ₖ(x^{p³ᵏ + p²ᵏ − pᵏ + 1} + x²) 在 n = 4k 时是否为弱正则弯函数？
• RQ3 该函数的沃尔什变换系数的精确值是什么？
• RQ4 能否使用子域上的迹函数以闭式表达沃尔什系数？
• RQ5 是否存在支持此类弯函数构造与分析的新指数和恒等式？

主要发现

• 函数 f(x) = Tr₄ₖ(x^{p³ᵏ + p²ᵏ − pᵏ + 1} + x²) 在任意奇素数 p 下，被证明在 GF(p⁴ᵏ) 上为弱正则弯函数。
• 沃尔什变换系数 Sf(b) 精确为 −p²ᵏ ω^{Trₖ(x₀)/4}，其中 x₀ 是方程 bp²ᵏ⁺¹ + (b² + x)^{(p²ᵏ⁺¹)/2} + bpᵏ(p²ᵏ⁺¹) + (b² + x)^{pk(p²ᵏ⁺¹)/2} = 0 在 GF(pᵏ) 中的唯一解。
• 当 b² ∈ GF(p²ᵏ) 时，解 x₀ 简化为 x₀ = −Tr₂ₖᵏ(b²)，且 Sf(b) = −p²ᵏ ω^{−Trₖ(Tr₂ₖᵏ(b²))/4}。
• 证明建立了关于迹函数与二次特征的指数和的新结果，尤其在子域迹映射背景下。
• 该方法表明沃尔什系数的模为 p²ᵏ，与弯函数性质一致，而相位由基域 GF(pᵏ) 中的唯一解决定。
• 该构造提供了首个已知的非弱正则二项式弯函数实例，尽管此特定函数为弱正则弯函数。