[论文解读] New bounds on the condition number of the Hessian of the preconditioned variational data assimilation problem

Jemima M. Tabeart, Sarah L. Dance+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Meteorological Phenomena and Simulations参考文献 40被引用 9

一句话总结

本文推导了预条件变分资料同化中海森矩阵条件数的新解析界，表明观测误差协方差（OEC）矩阵的最小特征值对条件数起关键作用。数值实验表明，当背景误差与观测误差的长度尺度相等时，海森矩阵的条件数最小化；且特征值聚类可使共轭梯度法的收敛速度超过仅由条件数预测的结果。

ABSTRACT

Data assimilation algorithms combine prior and observational information, weighted by their respective uncertainties, to obtain the most likely posterior of a dynamical system. In variational data assimilation the posterior is computed by solving a nonlinear least squares problem. Many numerical weather prediction (NWP) centres use full observation error covariance (OEC) weighting matrices, which can slow convergence of the data assimilation procedure. Previous work revealed the importance of the minimum eigenvalue of the OEC matrix for conditioning and convergence of the unpreconditioned data assimilation problem. In this paper we examine the use of correlated OEC matrices in the preconditioned data assimilation problem for the first time. We consider the case where there are more state variables than observations, which is typical for applications with sparse measurements e.g. NWP and remote sensing. We find that similarly to the unpreconditioned problem, the minimum eigenvalue of the OEC matrix appears in new bounds on the condition number of the Hessian of the preconditioned objective function. Numerical experiments reveal that the condition number of the Hessian is minimised when the background and observation lengthscales are equal. This contrasts with the unpreconditioned case, where decreasing the observation error lengthscale always improves conditioning. Conjugate gradient experiments show that in this framework the condition number of the Hessian is a good proxy for convergence. Eigenvalue clustering explains cases where convergence is faster than expected.

研究动机与目标

• 分析具有相关观测误差协方差（OEC）矩阵的预条件变分资料同化中海森矩阵的条件性。
• 推导依赖于OEC矩阵最小特征值的海森矩阵条件数的新理论界。
• 研究背景误差与观测误差协方差结构如何影响预条件4D-Var系统中的收敛性。
• 评估海森矩阵条件数是否可作为该框架中共轭梯度收敛的可靠代理指标。
• 探讨海森矩阵特征值聚类对收敛速度的影响，超越仅由条件数预测的范围。

提出的方法

• 利用背景误差与观测误差协方差矩阵的性质，推导线性化预条件目标函数海森矩阵条件数的解析界。
• 应用矩阵扰动理论与谱分析，将海森矩阵的条件数与OEC矩阵的最小特征值关联起来。
• 采用带有控制变量变换（CVT）的4D-Var框架，隐式建模背景误差协方差矩阵。
• 使用具有循环结构的背景与OEC矩阵进行数值实验，以检验理论界与收敛行为。
• 实施共轭梯度法以评估收敛速率，并将其与海森矩阵的条件数及特征值分布相关联。
• 比较不同背景与观测误差长度尺度下的结果，以识别最优配置。

实验结果

研究问题

• RQ1 在预条件变分资料同化问题中，观测误差协方差矩阵的最小特征值如何影响海森矩阵的条件数？
• RQ2 在预条件设置下，当背景误差与观测误差长度尺度匹配时，是否如数值实验所示，海森矩阵的条件数被最小化？
• RQ3 海森矩阵条件数在多大程度上可作为预条件资料同化中共轭梯度收敛的可靠预测指标？
• RQ4 海森矩阵中的特征值聚类如何在仅由条件数预测之外进一步影响收敛速度？
• RQ5 与未预条件化情况相比，对OEC矩阵进行再条件化技术如何影响预条件框架中海森矩阵的条件数？

主要发现

• 在预条件变分资料同化问题中，观测误差协方差矩阵的最小特征值出现在海森矩阵条件数的新解析界中。
• 当背景误差与观测误差长度尺度相等时，海森矩阵的条件数被最小化，这与未预条件化情况下观测误差长度尺度越小条件性越优的结论相反。
• 共轭梯度法的收敛性可较好地由海森矩阵条件数预测，但当特征值聚类时，即使条件数非最优，收敛速度仍可更快。
• 由结构化观测算子与互补协方差矩阵结构引发的特征值聚类，可导致超出预期的快速收敛。
• 在预条件框架中，增加OEC矩阵小特征值的再条件化技术可能不会降低海森矩阵的条件数，原因在于其与背景误差协方差的乘法耦合。
• 理论界具有一般性，适用于任意选择的背景与观测误差协方差矩阵及线性观测算子，尽管数值结果基于具有均匀分布状态变量的循环结构矩阵。