[论文解读] New characterizations for core inverses in rings with involution

Sanzhang Xu, Jianlong Chen+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2015

Matrix Theory and Algorithms参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文在具有对合的环中为核心逆提供了新的三元方程刻画，证明了元素 $ a $ 关于逆 $ b $ 核心可逆当且仅当 $ (ab)^* = ab $，$ ba^2 = a $，且 $ ab^2 = b $。此外，本文证明了群可逆元素核心可逆当且仅当它同时也是 {1,3}-逆，并在特定正交性条件下推导出两个核心可逆元素之和的核心逆的显式公式。

ABSTRACT

The core inverse for a complex matrix was introduced by Baksalary and Trenkler. Rakić, Dinčić and Djordjević generalized the core inverse of a complex matrix to the case of an element in a ring. They also proved that the core inverse of an element in a ring can be characterized by five equations and every core invertible element is group invertible. It is natural to ask when a group invertible element is core invertible, in this paper, we will answer this question. We will use three equations to characterize the core inverse of an element. That is, let $a, b\in R$, then $a\in R^{ iny extcircled{ iny\#}}$ with $a^{ iny extcircled{ iny\#}}=b$ if and only if $(ab)^{\ast}=ab$, $ba^{2}=a$ and $ab^{2}=b$. Finally, we investigate the additive property of two core invertible elements. Moreover, the formulae of the sum of two core invertible elements are presented.

研究动机与目标

• 确定在 *-环中，群可逆元素在何种条件下是核心可逆的。
• 提供核心逆的最小三元方程刻画，将先前工作的五元方程组简化为三元。
• 研究核心可逆元素的加法性质，并推导其和的核心逆的显式公式。
• 将已知的核心逆结果从复矩阵推广到一般具有对合的环。
• 阐明 *-环中核心可逆性、群可逆性与 {1,3}-可逆性之间的关系。

提出的方法

• 提出三元方程刻画：$ (ab)^* = ab $，$ ba^2 = a $，且 $ ab^2 = b $，以定义 $ a $ 关于 $ b $ 的核心逆。
• 利用核心可逆性与群可逆性及 {1,3}-可逆性交集之间的等价性，推导出必要且充分条件。
• 应用环论工具，包括对合性质、幂等元及零化子条件，分析核心可逆元素的结构。
• 在条件 $ ab = 0 $，$ a^*b = 0 $，且 $ a,b $ 核心可逆下，推导出公式 $ (a+b)^\tiny{\tiny\text{\textsterling}}=b^{\text{\textpi}}a^{\tiny{\tiny\text{\textsterling}}}+b^{\tiny{\tiny\text{\textsterling}}} $。
• 利用 $ b^{\text{\textpi}} = 1 - b^{\tiny{\tiny\text{\textsterling}}}b $（与群逆相关的谱幂等元）来表达和的核心逆。
• 通过反例验证结果，表明和公式中正交性条件的必要性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 *-环中，群可逆元素在何种条件下也是核心可逆的？
• RQ2 能否仅用三个方程而非五个方程来刻画元素的核心逆？
• RQ3 在何种条件下，两个核心可逆元素的和本身也是核心可逆的？
• RQ4 当两个核心可逆元素满足 $ ab = 0 $ 和 $ a^*b = 0 $ 时，其和的核心逆的显式公式是什么？
• RQ5 在加法条件下，核心逆与对偶核心逆的行为如何？相应的和公式是什么？

主要发现

• 元素 $ a $ 关于逆 $ b $ 核心可逆当且仅当 $ (ab)^* = ab $，$ ba^2 = a $，且 $ ab^2 = b $，提供了最小的三元方程刻画。
• 群可逆元素 $ a $ 核心可逆当且仅当它也是 {1,3}-逆，即 $ a \notin R^{\tiny{\tiny\text{\textsterling}}} $ 当且仅当 $ a \notin R^{\text{\#}} \bigcap R^{\text{\{1,3\}}} $。
• 若 $ a $ 和 $ b $ 核心可逆且满足 $ ab = 0 $ 与 $ a^*b = 0 $，则 $ a + b $ 核心可逆，且 $ (a+b)^{\tiny{\tiny\text{\textsterling}}} = b^{\text{\textpi}}a^{\tiny{\tiny\text{\textsterling}}} + b^{\tiny{\tiny\text{\textsterling}}} $，其中 $ b^{\text{\textpi}} = 1 - b^{\tiny{\tiny\text{\textsterling}}}b $。
• 和公式中的条件 $ ab = 0 $ 是必要的，反例表明当 $ ab \neq 0 $ 时 $ a + b $ 的核心可逆性会失效。
• 在 $ ab = 0 $ 与 $ ab^* = 0 $ 条件下，和 $ a + b $ 的对偶核心逆满足 $ (a+b)_{\tiny{\tiny\text{\textsterling}}} = a_{\tiny{\tiny\text{\textsterling}}} + b_{\tiny{\tiny\text{\textsterling}}}a^{\text{\textpi}} $，其中 $ a^{\text{\textpi}} = 1 - aa_{\tiny{\tiny\text{\textsterling}}} $。
• 结果将已知的矩阵理论中关于核心逆的结果推广到任意具有对合的环，具有更广泛的应用性。