[论文解读] New characterizations of Bergman spaces

Miroslav Pavlović, Kehe Zhu|ArXiv.org|Dec 18, 2006

Holomorphic and Operator Theory参考文献 3被引用 8

一句话总结

该论文通过证明 $|f(z)|^p$ 的可积性等价于 $|f(z)|^{p-q}$ 与三个微分量的 $q$ 次方的乘积的可积性，建立了在 $\mathbb{C}^n$ 中单位球上的加权 Bergman 空间 $A^p_\alpha$ 的新刻画：径向导数、全纯梯度和不变梯度。关键结果是当且仅当 $0 < q < p + 2$ 时，这些刻画成立，且所有相关范数彼此等价。

ABSTRACT

We obtain several new characterizations for the standard weighted Bergman spaces $A^p_α$ on the unit ball of $\cn$ in terms of the radial derivative, the holomorphic gradient, and the invariant gradient.

研究动机与目标

• 通过引入微分算子的加权积分，扩展已知的 Bergman 空间刻画。
• 确定 $f$ 与其微分变体之间可积性等价关系成立的指数 $q$ 的最优范围。
• 统一并推广关于 $A^p_\alpha$ 空间径向与梯度基刻画的先前结果。
• 在 Bergman 范数下，建立 $f$ 与其基于微分的表达式之间的范数等价性。
• 通过反例证明范围 $0 < q < p + 2$ 的最优性。

提出的方法

• 利用 Möbius 不变量性和自同构群作用，将不变梯度 $|\widetilde{\nabla}f(z)|$ 与梯度和径向导数联系起来。
• 应用变量替换 $z \mapsto \varphi_w(z)$，其中 $\varphi_w \in \mathrm{Aut}(\mathbb{B}_n)$，以利用不变性性质。
• 使用 Fubini 定理，对单位球关于 Möbius 不变量测度 $d\tau(w) = dv(w)/(1 - |w|^2)^{n+1}$ 进行积分。
• 通过引理 8 进行比较估计，该引理指出当 $|\varphi_w(z)| < 3/4$ 时，有 $1 - |w|^2 \sim 1 - |z|^2 \sim |1 - \langle z,w \rangle|$。
• 应用引理 10，利用关于 $w$ 的一致估计，将 $|f(z)|^{p-q}|\widetilde{\nabla}f(z)|^q$ 的积分控制在 $|f(z)|^p$ 之内。
• 通过使用与 $f$ 无关的正常数 $C$，建立范数等价性，确保 $I_1(f) \asymp I_4(f)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些 $q$ 值，$|f(z)|^{p-q} \cdot \left[(1 - |z|^2)|Rf(z)|\right]^q$ 的可积性与 $f \in A^p_\alpha$ 等价？
• RQ2 不变梯度 $|\widetilde{\nabla}f(z)|$ 是否能以与径向和全纯梯度相同的方式刻画 Bergman 空间？
• RQ3 范围 $0 < q < p + 2$ 对于各种刻画之间的等价性是否最优？
• RQ4 由 $I_2(f), I_3(f), I_4(f)$ 定义的范数与标准 Bergman 范数 $I_1(f)$ 如何比较？
• RQ5 Möbius 不变量在证明不同刻画之间等价性时起什么作用？

主要发现

• 当 $0 < q < p + 2$ 且 $f \in H(\mathbb{B}_n)$ 时，积分 $I_1(f) = \int_{\mathbb{B}_n} |f(z)|^p \, dv_\alpha(z)$、$I_2(f)$、$I_3(f)$ 和 $I_4(f)$ 全部等价。
• 不变梯度 $|\widetilde{\nabla}f(z)|$ 满足 $I_4(f) \leq C \cdot I_1(f)$，其中 $C > 0$ 为绝对常数，且与 $f$ 无关。
• 范围 $0 < q < p + 2$ 是最优的，如反例 $f(z) = z_1$ 所示，当 $q \geq p + 2$ 时 $I_4(f) = \infty$。
• 当 $n = 1$ 时，积分 $\int_0^{1/2} r^{2n - 1 + p - q} \, dr$ 在 $q \geq p + 2$ 时发散，确认了该范围的最优性。
• 当 $n \geq 2$ 时，积分 $\int_{\mathbb{S}_n} |\zeta_1|^{p - q} \, d\sigma(\zeta)$ 在 $q \geq p + 2$ 时发散，再次确认了最优性。
• 推论 11 表明，每个偏导数 $\partial f / \partial z_k$ 在 $0 < q < p + 2$ 时均能通过 $|f(z)|^{p-q} \left[(1 - |z|^2) \left| \frac{\partial f}{\partial z_k} \right| \right]^q$ 的可积性，给出 $A^p_\alpha$ 的有效刻画。