[论文解读] New classes of $C^1$ robustly transitive maps with persistent critical points

Cristina Lizana, Wagner Ranter|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 1

一句话总结

本文在2-环面和克莱因瓶上构造了新的$C^1$-鲁棒遍历自同态类，其具有持续临界点，通过变形扩张线性映射以形成‘喷射器’——一种动力学机制，确保即使导数非满射时仍保持鲁棒遍历性。关键结果是在满足$1 < |\mu| \ll |\lambda|$的线性自同态同伦类中存在此类映射，填补了先前研究的空白，并纠正了先前构造中的错误。

ABSTRACT

We exhibit a new large class of $C^1$ open examples of robustly transitive maps displaying persistent critical points in the homotopy class of expanding endomorphisms acting on the two dimensional Torus and the Klein bottle.

研究动机与目标

• 在2-环面和克莱因瓶上构造新的$C^1$-鲁棒遍历自同态，其具有持续临界点。
• 纠正[7]中先前构造的缺陷，该构造因对临界映射下图像内部的错误假设而导致鲁棒遍历性论证失败。
• 证明即使存在临界点，鲁棒遍历性也可在满足$1 < |\mu| \ll |\lambda|$的线性自同态同伦类中实现。
• 展示此类映射可通过扩张映射的受控形变构造，形成‘喷射器’结构，确保在小$C^1$-扰动下遍历性依然保持。

提出的方法

• 通过在较弱方向施加$C^0$-小但$C^1$-大的扰动，对满足$1 < |\mu| \ll |\lambda|$的扩张线性自同态$L$进行形变，以在小方块$B$内形成‘喷射器’。
• 构造一族映射$F_{s,t} = \Theta_s \circ F_t$，其中$\Theta_s$压缩弱方向并保持不稳定锥场，确保喷射器结构得以维持。
• 通过验证强不稳定叶状结构为极小集，并且任何不稳定弧在小扰动下迭代后均穿过喷射器区域，来确保喷射器的鲁棒性。
• 在远离喷射器区域的位置引入人工临界点，确保其在$C^1$-扰动下保持持续性，且不破坏喷射器动力学。
• 使用锥场$C_\alpha$，并验证所有邻近映射均保持该锥场，且向量被一致扩张满足$\|DG(v)\| \geq \lambda' > 1$，从而保证双曲性与鲁棒遍历性。
• 通过证明每个不稳定弧最终均穿过喷射器区域并与某双曲不动点的局部稳定集相交，从而证明鲁棒遍历性，确保轨道稠密。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在满足$1 < |\mu| \ll |\lambda|$的线性自同态同伦类中构造出具有持续临界点的$C^1$-鲁棒遍历自同态？
• RQ2 克莱因瓶是否允许存在具有持续临界点的$C^1$-鲁棒遍历自同态？
• RQ3 能否修正并验证[7]中存在缺陷的构造——该构造声称对于同伦于$L$且满足$1 < |\mu| < |\lambda|$的映射具有鲁棒遍历性？
• RQ4 当开集的像可能因临界点而具有空内部时，何种动力学机制可确保鲁棒遍历性？
• RQ5 如何在扩张映射的$C^1$-扰动中构造‘喷射器’，以确保即使存在临界点，遍历性依然保持？

主要发现

• 作者在2-环面和克莱因瓶上成功构造了具有持续临界点的$C^1$-鲁棒遍历自同态，证实此类映射存在于满足$1 < |\mu| \ll |\lambda|$的线性自同态同伦类中。
• 该构造通过使用正确的喷射器机制替代先前错误假设图像内部非空，纠正了[7]中的缺陷。
• 通过$C^0$-小但$C^1$-大的扩张映射形变，成功构建了‘喷射器’，即使在导数非满射时也能确保鲁棒遍历性。
• 通过确保每个不稳定弧最终均穿过喷射器区域并与某双曲不动点的局部稳定集相交，实现了鲁棒遍历性。
• 该方法对有理与无理特征值均适用，无理特征值情形仅需对构造进行微小调整即可保持喷射器与遍历性性质。
• 结果确认，即使存在临界点，$C^1$-鲁棒遍历性仍可在满足$1 < |\mu| \ll |\lambda|$的扩张自同态同伦类中实现。