[论文解读] New Codes on High Dimensional Expanders

Irit Dinur, Siqi Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2023

Error Correcting Code Techniques被引用 1

一句话总结

本论文提出了一类基于高维展开图（HDX）的新对称低密度奇偶校验（LDPC）码族，通过将单纯复形新颖地嵌入向量空间构建而成。这些码定义在二维展开复形的三角形上，沿边的局部视图构成里德-所罗门码；在某些参数下，该码族实现了常数速率的局部可测试性，并表现出乘法性质。关键贡献在于避免了约束计数的速率分析方法，使得即使局部码的速率低于1/2，也能实现非平凡的码率。

ABSTRACT

We describe a new parameterized family of symmetric error-correcting codes with low-density parity-check matrices (LDPC). Our codes can be described in two seemingly different ways. First, in relation to Reed-Muller codes: our codes are functions on a subset of $\mathbb{F}^n$ whose restrictions to a prescribed set of affine lines has low degree. Alternatively, they are Tanner codes on high dimensional expanders, where the coordinates of the codeword correspond to triangles of a $2$-dimensional expander, such that around every edge the local view forms a Reed-Solomon codeword. For some range of parameters our codes are provably locally testable, and their dimension is some fixed power of the block length. For another range of parameters our codes have distance and dimension that are both linear in the block length, but we do not know if they are locally testable. The codes also have the multiplication property: the coordinate-wise product of two codewords is a codeword in a related code. The definition of the codes relies on the construction of a specific family of simplicial complexes which is a slight variant on the coset complexes of Kaufman and Oppenheim. We show a novel way to embed the triangles of these complexes into $\mathbb{F}^n$, with the property that links of edges embed as affine lines in $\mathbb{F}^n$. We rely on this embedding to lower bound the rate of these codes in a way that avoids constraint-counting and thereby achieves non-trivial rate even when the local codes themselves have arbitrarily small rate, and in particular below $1/2$.

研究动机与目标

• 通过高维展开图（HDX）构造一类具有可证明局部可测试性的新型对称低密度奇偶校验（LDPC）码。
• 通过将单纯复形新颖地嵌入向量空间 Fn，定义码结构，使得边的邻域映射到仿射直线。
• 即使在局部码的码率任意小时，仍能实现非平凡的码率，绕过传统的约束计数方法。
• 证明码满足乘法性质：两个码字的逐坐标乘积是相关码中的一个码字。
• 对一系列参数范围证明局部一致性可测试性，并给出拒绝概率与鲁棒性的显式界。

提出的方法

• 通过 Kaufman 与 Oppenheim 的余集复形变体，利用 Fq 上的幂零子群，构造一个二维三部单纯复形 Xn。
• 将 Xn 的三角形嵌入 Fn，使得边的邻域映射到 Fn 中的仿射直线，从而实现局部里德-所罗门结构。
• 将全局码定义为在 Xn 的三角形上取值的函数，其在每条边的邻域（即仿射直线）上限制为低次多项式。
• 在二维复形上应用 Tanner 码构造，顶点处的局部码为 d 次里德-所罗门码。
• 应用反向归纳法与“ trickle-down ”定理，将一致性可测试性从高维面传播至低维面。
• 通过几何嵌入与组合结构建立码率界，避免使用标准计数论证。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在有界度的单纯复形高维展开图上，构造出具有可证明局部可测试性与非平凡码率的对称LDPC码族？
• RQ2 能否在不依赖约束计数的前提下，对HDX码的码率进行界定，特别是在局部码码率低于1/2时？
• RQ3 所提出的构造是否能产生具有乘法性质的码，即两个码字的逐坐标乘积是相关码中的一个码字？
• RQ4 在哪些参数范围内，该码具有局部可测试性？拒绝概率与鲁棒性的显式界是什么？
• RQ5 能否利用邻域的局部结构（Fn 中的仿射直线）来定义兼具高距离与高维度的码？

主要发现

• 当 d < (1/4 - 5/64 δk−2)|F| 时，码 Cφ ⊂ {f : X(k) → F} 是 (ǫ−1, ρ−1(·))-一致性可测试的，其中 ǫ−1 = (p−4d)/(5p))^3 且 ρ−1(x) = D1·x，其中 D1 = (k+1)|F|^k。
• 在某一参数范围内，码的维度是块长度的固定次幂；在另一参数范围内，距离与维度均为块长度的线性函数。
• 通过几何嵌入避免约束计数，对全局码的码率给出了下界，即使局部码码率 <1/2 也能实现非平凡码率。
• 顶点处的局部码同构于一个里德-所罗门码或两个的张量积，具体取决于邻域结构，且具有显式鲁棒性的局部可测试性。
• 该码满足乘法性质：两个码字的逐坐标乘积是相关码中的一个码字，这是由于局部里德-所罗门结构所致。
• 当 k=2 时，顶点处的码同构于 (15) 中定义的 Cd,d，且当 d < |F|/4 时，是 ( ((p−4d)/(5p))^3 , 4(·)^{1/3} )-一致性可测试的。