[论文解读] New complete embedded minimal surfaces in H2xR

Juncheol Pyo|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2009

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 17被引用 9

一句话总结

该论文利用共轭曲面方法在 $\mathbb{H}^2 \times \mathbb{R}$ 中构造了三类全新的完备嵌入极小曲面：一类单连通、单周期的曲面，具有无限总曲率；一类环状的有限总曲率曲面；以及一类亏格为零、具有 $k \geq 3$ 个竖直平面端点、总曲率为 $-4(k-1)\pi$ 的曲面。该构造解决了 Hauswirth 与 Rosenberg 提出的关于此类空间中非单连通有限总曲率极小曲面存在性的问题。

ABSTRACT

We construct three kinds of complete embedded minimal surfaces in $\Bbb H^2 imes \Bbb R$. The first is a simply connected, singly periodic, infinite total curvature surface. The second is an annular finite total curvature surface. These two are conjugate surfaces just as the helicoid and the catenoid are in $\mathbb R^3$. The third one is a finite total curvature surface which is conformal to $\mathbb S^2\setminus\{p_1,...,p_k\}, k\geq3.$

研究动机与目标

• 在 $\mathbb{H}^2 \times \mathbb{R}$ 中构造具有有限总曲率的新完备嵌入极小曲面。
• 解决 Hauswirth 与 Rosenberg 提出的关于 $\mathbb{H}^2 \times \mathbb{R}$ 中非单连通有限总曲率极小曲面存在性的开放问题。
• 将共轭曲面方法从 $\mathbb{R}^3$ 扩展至 $\mathbb{H}^2 \times \mathbb{R}$，以构造具有受控拓扑与曲率的嵌入极小曲面。
• 证明在 $\mathbb{H}^2 \times \mathbb{R}$ 中存在嵌入的 $k$-noid，这与 $\mathbb{R}^3$ 中当 $k \geq 3$ 时自相交的情况不同。

提出的方法

• 在 $\mathbb{H}^2$ 中构造一个极小图 $\Delta^k$，其定义域为一个无限理想三角形，边界由两条水平测地线（一条有限，一条无限）和一条竖直测地线构成，形成角度 $\pi/k$。
• 应用由 Daniel 及 Hauswirth–Searp–Toubiana 推广的 $\mathbb{H}^2 \times \mathbb{R}$ 中的共轭曲面构造方法，得到一个与水平面和竖直面正交的共轭极小曲面 $\widetilde{\Delta}^k$。
• 将共轭曲面关于其边界平面（即夹角为 $\pi/k$ 的两个竖直平面和一个水平面）进行反射，生成一个完备的、嵌入的极小曲面 $\Sigma_k$，其具有 $k$ 个竖直平面端点。
• 通过在边界平面的 $k$ 重旋转对称性基础上，迭代应用 Schwarz 反射原理，将曲面全局延拓并保证其嵌入性。
• 应用 Huber 定理，得出 $\Sigma_k$ 同胚于 $\mathbb{S}^2 \setminus \{p_1, \dots, p_k\}$，从而推出其具有有限总曲率。
• 利用 Hauswirth 与 Rosenberg 的曲率估计方法，证明 $\Sigma_k$ 的总曲率为 $-4(k-1)\pi$，其中每个基本部分贡献 $-4\pi/k$ 的曲率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{H}^2 \times \mathbb{R}$ 中是否存在一个非单连通的、完备的、有限总曲率的极小曲面？
• RQ2 能否在 $\mathbb{H}^2 \times \mathbb{R}$ 中构造出 $k \geq 3$ 的、类似 $k$-noid 的嵌入极小曲面，从而避免 $\mathbb{R}^3$ 中存在的自相交现象？
• RQ3 能否在 $\mathbb{H}^2 \times \mathbb{R}$ 中利用共轭曲面方法生成具有受控拓扑与曲率的完备嵌入极小曲面？
• RQ4 一个具有 $k$ 个竖直平面端点的 $\mathbb{H}^2 \times \mathbb{R}$ 中的完备嵌入极小曲面的总曲率是多少？

主要发现

• 该论文构造了一个单连通、单周期的完备嵌入极小曲面，其总曲率为无限，且不同于由有限曲率基本部分构成的直纹螺旋面。
• 构造了一个环状的有限总曲率极小曲面，作为具有 $180^\circ$ 对称边界区域上极小图的共轭曲面，从而提供了一个反例，推翻了‘仅有单连通的有限曲率曲面存在’的假设。
• 构造了一个亏格为零、具有 $k \geq 3$ 个竖直平面端点的完备嵌入极小曲面 $\Sigma_k$，其总曲率为 $-4(k-1)\pi$，从而证实了在 $\mathbb{H}^2 \times \mathbb{R}$ 中存在非单连通的有限总曲率极小曲面。
• $\Sigma_k$ 同胚于 $\mathbb{S}^2$ 去掉 $k$ 个点，这由 Huber 定理保证，且其端点渐近于竖直平面。
• $\Sigma_k$ 的基本部分具有总曲率 $-4\pi/k$，而商曲面 $\Sigma_k / T_k$ 的总曲率为 $-4\pi$，因此其为 $\Sigma_2$ 曲面的共轭曲面。
• 通过共轭曲面与反射的构造方式确保了嵌入性，且尽管其拓扑非单连通，但曲面被证明无自相交。