[论文解读] New conformal map for the Sinc approximation for exponentially decaying functions over the semi-infinite interval

Tomoaki Okayama, Yuya Shintaku+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2018

Matrix Theory and Algorithms参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文提出一种新的共形映射 $ t = \phi(x) = \log(1 + e^x) $，用于在半无限区间 $ (0, \infty) $ 上对指数衰减函数进行 Sinc 近似。通过用标准映射 $ t = \psi(x) = \arcsinh(e^x) $ 替代，新映射由于具有更大的解析带宽度 $ d $，从而实现了更快的收敛速度。该结论在理论上通过可计算的误差界得到证明，并通过数值例子加以验证。

ABSTRACT

The Sinc approximation has shown high efficiency for numerical methods in many fields. Conformal maps play an important role in the success, i.e., appropriate conformal map must be employed to elicit high performance of the Sinc approximation. Appropriate conformal maps have been proposed for typical cases; however, such maps may not be optimal. Thus, the performance of the Sinc approximation may be improved by using another conformal map rather than an existing map. In this paper, we propose a new conformal map for the case where functions are defined over the semi-infinite interval and decay exponentially. Then, we demonstrate in both theoretical and numerical ways that the convergence rate is improved by replacing the existing conformal map with the proposed map.

研究动机与目标

• 为了提高在半无限区间 $ (0, \infty) $ 上对指数衰减函数进行 Sinc 近似的收敛速度。
• 为了用新的映射 $ \phi(x) = \log(1 + e^x) $ 替代传统的共形映射 $ \psi(x) = \arcsinh(e^x) $。
• 为了推导新近似公式的可计算误差界。
• 为了从理论上和数值上证明新映射相较于现有方法具有更快的收敛速度。

提出的方法

• 提出共形映射 $ \phi(x) = \log(1 + e^x) $，将 $ (-\infty, \infty) $ 映射到 $ (0, \infty) $，从而实现对半无限区域的 Sinc 近似。
• 推导使用 $ \phi(x) $ 的 Sinc 近似的新可计算误差界，表达式为 $ C\sqrt{n} e^{-\sqrt{\pi d \mu n}} $，其中 $ \mu = \min(\alpha, \beta) $。
• 分析变换后函数的解析域 $ \phi(D_d) $，表明其支持更大的 $ d $（最大达 $ \pi $），相比 $ \psi(D_d) $（最大为 $ \pi/2 $）。
• 利用最大模原理和复分析证明误差界的有效性。
• 通过常数 $ C $ 将新误差界与现有误差界进行比较，其中 $ C $ 包含一个有利于新映射的因子 $ \left( \frac{e}{e-1} \right)^{\mu/2} $。
• 通过数值例子验证理论分析中收敛速度的改进。

实验结果

研究问题

• RQ1 将共形映射 $ \psi(x) = \arcsinh(e^x) $ 替换为 $ \phi(x) = \log(1 + e^x) $ 是否能提高在 $ (0, \infty) $ 上对指数衰减函数进行 Sinc 近似的收敛速度？
• RQ2 使用新共形映射 $ \phi(x) $ 的 Sinc 近似，其可计算误差界是什么？
• RQ3 两种映射的变换函数解析带宽度 $ d $ 如何比较，这对收敛性有何影响？
• RQ4 新映射能否在理论上和数值上均实现比现有方法更快的收敛速度？
• RQ5 参数 $ \alpha $、$ \beta $ 和 $ \mu = \min(\alpha, \beta) $ 在决定收敛速度方面起什么作用？

主要发现

• 新共形映射 $ \phi(x) = \log(1 + e^x) $ 允许更大的解析带宽度 $ d $，其范围为 $ 0 < d < \pi $，而现有映射 $ \psi(x) $ 的 $ d $ 仅能取到 $ \pi/2 $，从而导致更快的收敛速度。
• 新近似方法的理论误差界为 $ \leq C\sqrt{n} e^{-\sqrt{\pi d \mu n}} $，其中常数 $ C $ 包含因子 $ \left( \frac{e}{e-1} \right)^{\mu/2} $，该因子使常数部分优于现有映射。
• 常数 $ C $ 的改进与 $ d $ 范围的扩大共同作用，使新方法的收敛速度显著快于使用 $ \psi(x) $ 的现有 Sinc 近似方法。
• 数值例子证实新近似收敛速度快于现有方法，验证了理论分析的正确性。
• 利用最大模原理证明了不等式 $ \left| \frac{\log(1 + e^{x+i\pi})}{1 + \log(1 + e^{x+i\pi})} \cdot \frac{e^{-l} + e^{x+i\pi}}{e^{x+i\pi}} \right| \leq 1 $，该不等式对误差界推导至关重要。
• 本文证明了 $ \phi(x) $ 在 $ \pm i\pi $ 处是解析的，而 $ \psi(x) $ 不是，这解释了为何 $ \phi $ 具有更宽的解析带。