[论文解读] New congruences for central binomial coefficients

Zhi‐Wei Sun, Roberto Tauraso|arXiv (Cornell University)|May 5, 2008

Advanced Mathematical Identities参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文建立了中心二项式系数 $\binom{2k}{k+d}$ 模素数幂的新同余式，利用递推序列 $u_n(x)$ 和 $v_n(x)$，并将其与雅克比符号、费马商以及斐波那契数列和卢卡斯数列等特殊数列联系起来。主要贡献是得到了 $\sum_{k=0}^{p^a-1} \frac{1}{m^k} \binom{2k}{k+d} \equiv u_{p^a - d}(m-2) \pmod{p}$ 的广义同余式，将沃尔斯滕霍尔姆型结果推广至更高素数幂和有理权重。

ABSTRACT

Let p be a prime and let a be a positive integer. In this paper we determine $\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom{2k}{k+d}/m^k$ and $\sum_{k=1}^{p-1}\binom{2k}{k+d}/(km^{k-1})$ modulo $p$ for all d=0,...,p^a, where m is any integer not divisible by p. For example, we show that if $p ot=2,5$ then $$\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^k\frac{\binom{2k}k}k=-5\frac{F_{p-(\frac p5)}}p (mod p),$$ where F_n is the n-th Fibonacci number and (-) is the Jacobi symbol. We also prove that if p>3 then $$\sum_{k=1}^{p-1}\frac{\binom{2k}k}k={8/9} p^2B_{p-3} (mod p^3),$$ where B_n denotes the n-th Bernoulli number.

研究动机与目标

• 将沃尔斯滕霍尔姆的经典同余式 $\binom{2p}{p} \equiv 1 \pmod{p^3}$ 推广至模 $p^a$（$a \geq 1$）下加权中心二项式系数的求和。
• 利用线性递推序列 $u_n(x)$ 和 $v_n(x)$，推导 $\sum_{k=0}^{p^a-1} \frac{1}{m^k} \binom{2k}{k+d} \pmod{p}$ 的显式同余式。
• 将这些求和与雅克比符号、费马商 $q_p(m)$ 以及斐波那契、卢卡斯和佩尔数列等特殊数列联系起来。
• 为在各种模条件和有理权重 $m^{-k}$ 下涉及 $\binom{2k}{k+d}$ 的同余式提供统一框架。

提出的方法

• 作者定义了两个线性递推序列：$u_n(x)$ 满足 $u_0=0$，$u_1=1$，$u_{n+1} = x u_n - u_{n-1}$；$v_n(x)$ 满足 $v_0=2$，$v_1=x$，$v_{n+1} = x v_n - v_{n-1}$，这些序列推广了斐波那契和卢卡斯数列。
• 他们利用母函数及二项式系数模素数幂的性质，推导出加权和 $\sum_{k=0}^{p^a-1} \frac{1}{m^k} \binom{2k}{k+d} \pmod{p}$ 的同余式，其中 $m \not\equiv 0 \pmod{p}$。
• 关键恒等式为 $\sum_{k=0}^{p^a-1} \frac{1}{m^k} \binom{2k}{k+d} \equiv u_{p^a - d}(m-2) \pmod{p}$，将求和与在 $m-2$ 处取值的递推序列联系起来。
• 他们应用关于调和和与伯努利数的已知结果，特别是 $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k^2} \equiv \frac{2}{3}p B_{p-3} \pmod{p^2}$，以计算高阶项。
• 论文使用恒等式 $\binom{2p^a - 1}{p^a - 1} \equiv 1 + p[p=2] + p^2[p=3] \pmod{p^3}$ 将求和化为包含调和数和伯努利数的形式。
• 他们采用费马商 $q_p(m) = \frac{m^{p-1} - 1}{p}$，并将涉及 $\frac{1}{k m^{k-1}}$ 的求和与 $q_p(m)$ 及卢卡斯序列 $V_n(x)$ 联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 沃尔斯滕霍尔姆型同余式 $\binom{2p}{p}$ 如何推广至模 $p^a$（$a \geq 1$）下 $\binom{2k}{k+d}$ 加权于 $m^{-k}$ 的求和？
• RQ2 求和 $\sum_{k=0}^{p^a-1} \frac{1}{m^k} \binom{2k}{k+d}$ 与递推序列 $u_n(x)$ 和 $v_n(x)$ 之间有何联系？
• RQ3 雅克比符号和勒让德符号如何自然地出现在这些加权求和的同余式中？
• RQ4 能否将求和 $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k m^{k-1}} \binom{2k}{k}$ 表示为费马商 $q_p(m)$ 的形式？
• RQ5 伯努利数和调和和在将同余式提升至更高模数时起到什么作用？

主要发现

• 对于任意素数 $p$，$a \geq 1$，以及 $m \not\equiv 0 \pmod{p}$，同余式 $\sum_{k=0}^{p^a-1} \frac{1}{m^k} \binom{2k}{k+d} \equiv u_{p^a - d}(m-2) \pmod{p}$ 成立，其中 $u_n(x)$ 由递推关系 $u_{n+1} = x u_n - u_{n-1}$ 定义。
• 当 $d > 0$ 时，有 $d \sum_{k=1}^{p^a-1} \frac{1}{k m^{k-1}} \binom{2k}{k+d} \equiv 2(-1)^d + v_{p^a - d}(m-2) \pmod{p}$，其中 $v_n(x)$ 为伴随递推序列。
• 当 $m=1$ 时，有 $\sum_{k=0}^{p^a-1} \binom{2k}{k+d} \equiv \left(\frac{p^a - d}{3}\right) \pmod{p}$，这与雅克比符号相关联。
• 当 $m=2$ 时，若 $p^a \equiv d \pmod{2}$，则 $\sum_{k=0}^{p^a-1} \frac{1}{2^k} \binom{2k}{k+d} \equiv 0 \pmod{p}$；否则为 $\pm 1$，具体取决于模 4 的剩余类。
• 求和 $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k 2^{k-1}} \binom{2k}{k} \equiv 2q_p(2) \pmod{p}$，显示出与费马商 $q_p(2)$ 的直接联系。
• 当 $p > 3$ 时，有 $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{1 + 2p H_k}{k^2} \equiv \frac{8}{3} p B_{p-3} \pmod{p^2}$，这对将同余式提升至更高模数至关重要。