[论文解读] New congruences involving Apéry-like numbers

Zhi-Hong Sun|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2020

Advanced Mathematical Identities参考文献 30被引用 5

一句话总结

本文建立了两个阿佩里型序列 $G_n$ 和 $V_n$ 的新超同余式，这些序列源自包含中心二项式系数的超几何和。通过递推关系和组合恒等式，证明了对于奇素数 $p > 3$，有 $G_{p-1} \equiv (-1)^{(p-1)/2} 256^{p-1} \pmod{p^2}$ 与 $V_{p-1} \equiv 256^{p-1} \pmod{p^3}$，并给出了涉及 $G_n$ 和 $V_n$ 加权和（权重为二项式系数）模 $p^2$ 或 $p^3$ 的新颖同余式。这些结果扩展了模形式与 $1/\pi$ 的拉马努金型级数中已知的超同余模式。

ABSTRACT

In this paper we present many congruences for several Apéry-like sequences.

研究动机与目标

• 推导阿佩里型序列 $G_n = \sum_{k=0}^n \binom{2k}{k}^2 \binom{2n-2k}{n-k} 4^{n-k}$ 的新同余式，特别是模 $p^2$ 下对奇素数 $p > 3$ 的情形。
• 研究 $V_n = \sum_{k=0}^n \binom{2k}{k}^2 \binom{2n-2k}{n-k}^2$ 的性质，包括其递推关系与模 $p^3$ 的同余式。
• 建立序列 $G_n$ 与 $V_n$ 和二元二次型表示之间的联系，例如 $p = x^2 + 4y^2$ 或 $p = x^2 + 2y^2$。
• 证明涉及 $\binom{2n}{n}$ 加权的 $G_n$ 与 $V_n$ 的和的超同余式，如 $\sum_{n=0}^{p-1} \frac{G_n}{16^n} \equiv 0 \pmod{p^2}$，并将其与类数或雅克比符号条件联系起来。
• 通过证明模 $p^2$ 与 $p^3$ 下的新同余式，扩展已知序列 $S_n$、$f_n$ 与 $Q_n$ 的结果，特别是 $\sum_{n=1}^{p-1} \frac{nS_n}{8^n} \equiv 0 \pmod{p^2}$ 与 $\sum_{n=0}^{p-1} \frac{Q_n}{(-8)^n} \equiv 1 \pmod{p^2}$。

提出的方法

• 推导出 $G_n$ 的二阶线性递推关系：$(n+1)^2 G_{n+1} = (32n(n+1) + 12) G_n - 256n^2 G_{n-1}$，确认其为第二类阿佩里型序列。
• 利用生成函数恒等式 $V_n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \binom{n+k}{k} (-16)^{n-k} G_k$ 将 $V_n$ 与 $G_k$ 关联，实现同余性质的传递。
• 应用已知的 $f_n$、$a_n$ 与 $S_n$ 的超同余结果，包括 $f_{p-1} \equiv 1 + 3p q_p(2) \pmod{p^2}$ 与 $a_{p-1} \equiv \left(\frac{p}{3}\right)(1 + 2p q_p(3)) \pmod{p^2}$，以推导 $Q_n$ 的新同余式。
• 使用卢卡斯型恒等式与模 $p^2$ 下的二项式系数和，如 $\sum_{n=k}^{p-1} \binom{n}{k} \equiv \frac{p}{k+1} \binom{p-1}{k} \pmod{p^2}$，以简化加权和。
• 利用恒等式 $\sum_{n=0}^{p-1} \frac{Q_n}{(-8)^n} = \sum_{k=0}^{p-1} \frac{f_k}{(-8)^k} \sum_{n=k}^{p-1} \binom{n}{k}$，并利用已知的 $f_k$ 的 $p$-进展开式在模 $p^2$ 下进行约化。
• 应用变换 $Q_n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-8)^{n-k} f_k$，并利用 $f_k \equiv (-8)^k f_{p-1-k} \pmod{p}$ 的事实，以模 $p^2$ 计算和式。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于素数 $p > 3$，$G_n$ 模 $p^2$ 满足哪些超同余式，特别是 $G_{p-1} \pmod{p^2}$ 的值？
• RQ2 加权和 $\sum_{n=0}^{p-1} \frac{G_n}{16^n}$ 模 $p^2$ 的行为如何？它揭示了 $G_n$ 的何种算术结构？
• RQ3 $V_n$ 与 $G_n$ 之间有何关系？这一关系如何用于推导 $V_{p-1} \equiv 256^{p-1} \pmod{p^3}$？
• RQ4 和式 $\sum_{n=0}^{p-1} \frac{G_n}{128^n} \binom{2n}{n}$ 是否能用 $p$ 表示为 $x^2 + 2y^2$ 的形式表达？其模 $p^2$ 的值是多少？
• RQ5 $\sum_{n=1}^{p-1} \frac{nS_n}{8^n} \pmod{p^2}$ 的行为如何？它是否如猜想所示满足模 $p^3$ 的精细同余式？

主要发现

• 对于任意素数 $p > 3$，有 $G_{p-1} \equiv (-1)^{(p-1)/2} 256^{p-1} \pmod{p^2}$，将 $G_{p-1}$ 的值与勒让德符号及素数模 4 的剩余联系起来。
• $\sum_{n=0}^{p-1} \frac{G_n}{16^n} \equiv 0 \pmod{p^2}$，表明 $G_n$ 加权和 $16^{-n}$ 在模 $p^2$ 下为零。
• 若 $p \equiv 1 \pmod{4}$ 且 $p = x^2 + 4y^2$，则 $G_{(p-1)/2} \equiv 4x^2 - 2p \pmod{p^2}$；否则为 $0 \pmod{p^2}$，将 $G_n$ 与二元二次型联系起来。
• $\sum_{n=0}^{p-1} \frac{\binom{2n}{n} G_n}{128^n} \equiv 4x^2 - 2p \pmod{p^2}$，当 $p \equiv 1,3 \pmod{8}$ 且 $p = x^2 + 2y^2$ 时成立；否则为 $0 \pmod{p^2}$。
• $\sum_{n=0}^{p-1} \frac{\binom{2n}{n} n G_n}{128^n} \equiv 0 \pmod{p^2}$，表明带 $n$ 因子的加权序列和在模 $p^2$ 下为零。
• $\sum_{n=0}^{p-1} \frac{\binom{2n}{n} G_n}{48^n} \equiv 4x^2 - 2p \pmod{p^2}$，当 $p \equiv 1 \pmod{3}$ 且 $p = x^2 + 3y^2$ 时成立；否则为 $0 \pmod{p^2}$。