[论文解读] New considerations on Hilbert action and Einstein equations in anisotropic spaces

Nicoleta Voicu|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2009

Advanced Differential Geometry Research参考文献 3被引用 7

一句话总结

本文通过将希尔伯特作用量推广至芬斯勒几何并强制满足无穷小微分同胚下的不变性，提出了芬斯勒空间中爱因斯坦方程的变分推导。关键贡献在于在芬斯勒空间中提出了一种新的能量-动量守恒定律形式，表达为 $ T_{~{}~{}k|j}^{j} + (y^{l}T^{ij}C_{ijk})_{|l} = 0 $，该式在黎曼极限下退化为标准的散度为零条件。

ABSTRACT

We find the generalization of Einstein equations to Finsler spaces by variational means and, based on the invariance of the Finslerian Hilbert action to infinitesimal transformations, we find the analogue of the energy- momentum conservation law in these spaces.

研究动机与目标

• 通过基于芬斯勒希尔伯特作用量的变分原理，将爱因斯坦场方程推广至芬斯勒空间。
• 通过利用希尔伯特作用量在无穷小微分同胚下的不变性，推导芬斯勒几何中能量-动量张量的守恒定律。
• 在弱场和共形变形情况下，确保与广义相对论在黎曼极限下的一致性。
• 为芬斯勒几何中的引力场方程提供一个统一的框架，避免人为假设，并以变分法为基础。

提出的方法

• 在切丛 $ TM $ 上使用切尔连接的标量曲率形式化芬斯勒希尔伯特作用量，作用量通过包含芬斯勒度量的体积形式在时空上积分。
• 对芬斯勒度量 $ g_{ij}(x,y) $ 应用变分法，得到形式为 $ R_{ij} - \frac{1}{2}Rg_{ij} = \mathcal{X}T_{ij} $ 的场方程，其中 $ \mathcal{X} $ 为耦合常数。
• 在 $ M $ 上引入无穷小微分同胚，其在 $ TM $ 上诱导变换，度量变分形式为 $ \mathbf{\delta}g_{ij} = \mathcal{L}_{\xi}g_{ij} $，涉及协变导数和卡坦张量 $ C_{ijk} $。
• 利用希尔伯特作用量在这些变换下的不变性，推导出对爱因斯坦张量的约束，从而导出守恒恒等式。
• 通过分部积分并利用向量场 $ \xi^k $ 的任意性，推导出广义的能量-动量守恒定律。
• 通过考虑闵可夫斯基度量和贝瓦尔德-莫尔度量的弱形变与共形形变，验证其与广义相对论在黎曼极限下的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过基于变分原理的方法，一致地将爱因斯坦场方程从黎曼几何推广至芬斯勒几何？
• RQ2 在缺乏对称度量联络的情况下，芬斯勒空间中能量-动量守恒的合适形式是什么？
• RQ3 广义守恒定律在黎曼极限下如何退化为标准形式 $ T_{~{}~{}k,j}^{j} = 0 $？
• RQ4 卡坦张量 $ C_{ijk} $ 在芬斯勒几何中如何影响守恒定律的修正？
• RQ5 所提出的场方程在弱场区域是否能恢复标准的线性化引力方程？

主要发现

• 本文通过变分原理推导出芬斯勒爱因斯坦方程，形式为 $ R_{ij} - \frac{1}{2}Rg_{ij} = \mathcal{X}T_{ij} $，其中爱因斯坦张量被定义为芬斯勒希尔伯特作用量的泛函导数。
• 芬斯勒空间中的能量-动量张量满足广义守恒定律 $ T_{~{}~{}k|j}^{j} + (y^{l}T^{ij}C_{ijk})_{|l} = 0 $，该式在黎曼情形下退化为 $ T_{~{}~{}k,j}^{j} = 0 $。
• 在弱场极限下 $ g_{ij} = \eta_{ij} + \varepsilon_{ij} $ 时，场方程退化为波动方程 $ \square\varepsilon_{ij} = 0 $，与线性化引力一致。
• 对于贝瓦尔德-莫尔度量的弱共形形变，场方程退化为 $ \square\varepsilon = 0 $，表明在此极限下与共形引力一致。
• 芬斯勒希尔伯特作用量在无穷小微分同胚下保持不变，且该不变性直接导出广义能量-动量守恒定律。
• 推导过程确保了在黎曼极限下与广义相对论的一致性，验证了该方法作为爱因斯坦理论向芬斯勒几何自然推广的有效性。