[论文解读] New Construction of Mutually Unbiased Bases in Square Dimensions

Paweł Wocjan, Thomas Beth|ArXiv.org|Jul 12, 2004

graph theory and CDMA systems参考文献 13被引用 7

一句话总结

该论文提出了一种在平方维数 $d = s^2$ 下构造互为 unbiased 基（MUBs）的新方法，利用 $w$ 个互为正交的拉丁方（MOLS）和广义 Hadamard 矩阵，得到 $k = w + 2$ 个 MUBs。其关键贡献在于，该方法在许多非素数幂的平方维数下，产生的 MUB 数量多于标准的“化为素数幂”构造方法，且对所有但有限多个 $s$，有下界 $N_{MUB}(s^2) > s^{1/14.8}$。

ABSTRACT

We show that k=w+2 mutually unbiased bases can be constructed in any square dimension d=s^2 provided that there are w mutually orthogonal Latin squares of order s. The construction combines the design-theoretic objects (k,s)-nets (which can be constructed from w mutually orthogonal Latin squares of order s and vice versa) and generalized Hadamard matrices of size s. Using known lower bounds on the asymptotic growth of the number of mutually orthogonal Latin squares (based on number theoretic sieving techniques), we obtain that the number of mutually unbiased bases in dimensions d=s^2 is greater than s^1/14.8 for all s but finitely many exceptions. Furthermore, our construction gives more mutually orthogonal bases in many non-prime-power dimensions than the construction that reduces the problem to prime power dimensions.

研究动机与目标

• 开发一种在平方维数 $d = s^2$ 下构造互为 unbiased 基（MUBs）的新方法，使其在非素数幂情况下优于现有构造方法。
• 建立 $(s, k)$-网、互为正交的拉丁方（MOLS）与广义 Hadamard 矩阵之间在 MUB 构造中的联系。
• 通过利用 MOLS 的渐近增长结果，改进平方维数下 MUB 数量的下界。
• 证明所提出的构造方法在无穷多个平方维数下产生的 MUB 数量多于“化为素数幂”方法，尤其在 $s \geq 76$ 时成立。

提出的方法

• 利用 $w$ 个阶为 $s$ 的互为正交的拉丁方（MOLS）和大小为 $s$ 的广义 Hadamard 矩阵，在维数 $d = s^2$ 下构造 $k = w + 2$ 个互为 unbiased 的基。
• 利用从 $(s, k)$-网导出的关联向量，其中每组 $s$ 个关联向量对应希尔伯特空间 $\mathbb{C}^{s^2}$ 中的一个基。
• 通过在关联向量上强制正交性和均匀重叠性质，确保满足互为 unbiased 的内积条件。
• 利用 $w$ 个阶为 $s$ 的 MOLS 与存在 $(s, w+2)$-网之间的等价性，将组合设计转化为量子基的构造。
• 应用数论筛法技术，对 $N_{MOLS}(s)$ 的渐近增长进行界定，从而得出 $N_{MUB}(s^2)$ 的下界。
• 将新构造方法与“化为素数幂”方法结合，用于复合维数如 $d = s^2 p$（其中 $p$ 为不整除 $s$ 的素数），以进一步提升 MUB 数量。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在平方维数 $d = s^2$ 下开发一种新的 MUB 构造方法，使其在非素数幂情况下优于标准的“化为素数幂”方法？
• RQ2 互为正交的拉丁方（MOLS）、$(s, k)$-网与 MUB 构造之间存在何种关系？
• RQ3 阶为 $s$ 的 MOLS 数量的渐近增长如何影响维数 $d = s^2$ 下 MUB 数量的下界？
• RQ4 在哪些平方维数 $d = s^2$ 下，新构造方法产生的 MUB 数量多于“化为素数幂”构造方法？
• RQ5 新构造方法能否与现有方法结合，以提升如 $d = s^2 p$ 这类复合平方维数下的 MUB 数量？

主要发现

• 只要存在 $w$ 个阶为 $s$ 的互为正交的拉丁方，该构造方法在维数 $d = s^2$ 下即可产生 $k = w + 2$ 个互为 unbiased 的基。
• 对于 $s \geq 76$，该构造方法在维数 $d = s^2$ 下保证至少产生 8 个互为 unbiased 的基，因为此时 $N_{MOLS}(s) \geq 6$。
• 该构造方法在无穷多个平方维数下产生的 MUB 数量多于“化为素数幂”方法，尤其在 $s \in \mathcal{M} = \{s \in \mathbb{N} \mid s \equiv 2 \pmod{4}\}$ 时，后者仅产生 5 个 MUB。
• 基于对 $N_{MOLS}(s)$ 增长的已知结果，渐近下界 $N_{MUB}(s^2) > s^{1/14.8}$ 对所有 $s$（除有限多个外）均成立。
• 对于 $d = 26^2 = 676$，该构造方法至少产生 6 个 MUB（因为 $N_{MOLS}(26) \geq 4$），而“化为素数幂”方法仅产生 5 个 MUB，原因在于其最小素数幂因子为 4。
• 该方法可与“化为素数幂”方法结合用于如 $d = s^2 p$ 的维数，产生多于任一方法单独使用时的 MUB 数量——例如，$d = 26^2 \cdot 7$ 时可产生 6 个 MUB。