[论文解读] New constructions of quaternary bent functions

Baofeng Wu, Dongdai Lin|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2013

Coding theory and cryptography参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于特征为4的Galois环上二次型的新四元bent函数构造方法，推广了Li、Tang和Helleseth的前期工作。通过利用多项式最大公因式条件刻画特定系数集（QBF-集），作者推导出新的四元bent函数类，并通过与二元bent函数和半bent函数的联系，获得了新的多项式形式的二次二元bent函数与半bent函数类。

ABSTRACT

In this paper, a new construction of quaternary bent functions from quaternary quadratic forms over Galois rings of characteristic 4 is proposed. Based on this construction, several new classes of quaternary bent functions are obtained, and as a consequence, several new classes of quadratic binary bent and semi-bent functions in polynomial forms are derived. This work generalizes the recent work of N. Li, X. Tang and T. Helleseth.

研究动机与目标

• 推广基于特征为4的Galois环上迹形式的近期四元bent函数构造方法。
• 确定四元函数类在迹形式下为bent的充分条件，利用多项式最大公因式条件。
• 从构造的四元bent函数中推导出新的多项式形式的二次bent函数与半bent函数类。
• 通过利用Galois环的结构性质与Teichmüller集，扩展已知的bent函数与半bent函数家族。

提出的方法

• 将四元bent函数定义为Galois环GR(4,n)上的迹形式，具体为Q(x) = Tr₁ⁿ(αx + 2∑cᵢβx^{1+2^{eki}})，其中x属于Teichmüller集。
• 利用Teichmüller集与𝔽₂ⁿ之间的同构关系，通过迹函数的2-adic展开将四元函数与二元函数关联。
• 建立bentness的充要条件：gcd(c(xᵏ), xᵐ−1) = 1，其中c(x)是由系数{cᵢ}导出的二元多项式。
• 利用代数数论与分圆多项式性质，刻画满足最大公因式条件的QBF-集（系数集）。
• 应用四元bent函数与二元bent/半bent函数之间的联系（通过Stănică等人），推导出多项式形式的二元函数。
• 验证所得二元函数在n为偶数时为二次bent函数，在n为奇数时为二次半bent函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么系数{cᵢ}条件下，四元函数Q(x) = Tr₁ⁿ(αx + 2∑cᵢβx^{1+2^{eki}})在GR(4,n)上为bent函数？
• RQ2 对于特定系数集，如何代数刻画最大公因式条件gcd(c(xᵏ), xᵐ−1) = 1？
• RQ3 从构造的四元bent函数中可推导出哪些新的多项式形式的二次bent函数与半bent函数类？
• RQ4 该构造在多大程度上推广了Li、Tang和Helleseth近期关于四元bent函数的工作？
• RQ5 Galois环与Teichmüller集的结构性质如何促进新bent函数的构造？

主要发现

• 本文建立了四元bent函数的新充分条件：gcd(c(xᵏ), xᵐ−1) = 1，其中c(x)是由系数{cᵢ}构造的二元多项式。
• 通过识别满足最大公因式条件的QBF-集，明确构造出多个新的四元bent函数类，推广了先前的构造方法。
• 当n为偶数时，所得二元函数f_Q(x)为多项式形式的二次bent函数；当n为奇数时，为二次半bent函数。
• 所得二元函数的形式为f_Q(x) = p(αx) + ∑cᵢ tr₁ⁿ(βx^{1+2^{eki}})，其中p(x)由特定指数上的迹和定义。
• 该构造产生新的二次bent函数与半bent函数家族，其不被基于有限域上二次型的早期方法所覆盖。
• 该方法提供了一种系统化方法，通过选择满足最大公因式条件的系数集来生成新的bent函数与半bent函数，且从命题1–10中导出了明确示例。